Encontre a solução da equação diferencial y´´- 6y´ + 9y = t2e^3tcom as seguintes condições iniciais y(0)=2 e y′(0)=6 . Escolha uma opção:

Primeiramente, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada: y´´- 6y´ + 9y = 0 A equação característica é r² - 6r + 9 = 0, que tem uma raiz dupla r = 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é: y_h(t) = (c1 + c2t)e^(3t) Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o termo t^2e^(3t) é um polinômio de segundo grau multiplicado por uma exponencial, podemos tentar uma solução particular na forma: y_p(t) = (At^2 + Bt + C)e^(3t) Substituindo na equação diferencial, temos: y´´- 6y´ + 9y = (2A + 6At + 6B + 6C)e^(3t) Igualando com o termo não homogêneo, temos: 2A + 6B = 0 6A + 6B + 6C = 1 2A + B + C = 0 Resolvendo o sistema, encontramos A = -1/12, B = 1/6 e C = -1/4. Portanto, uma solução particular da equação não homogênea é: y_p(t) = (-t^2/12 + t/6 - 1/4)e^(3t) A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular da equação não homogênea: y(t) = y_h(t) + y_p(t) y(t) = (c1 + c2t)e^(3t) - (t^2/12 - t/6 + 1/4)e^(3t) Usando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 6, podemos encontrar os valores de c1 e c2: y(0) = c1 = 2 y'(t) = 3(c1 + c2t)e^(3t) - (t^2/4 - t/2 + 1/4)e^(3t) y'(0) = 3c1 - 1/4 = 6 c1 = 2 c2 = 7/12 Portanto, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: y(t) = (2 + 7t/12)e^(3t) - (t^2/12 - t/6 + 1/4)e^(3t)