uma solução da equação diferencial y" + 6y'+ 9y= 0, sendo y=(0)= -4 e y'(0)=14 é:

A equação diferencial y" + 6y' + 9y = 0 é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, podemos primeiro encontrar a equação característica correspondente:

r^2 + 6r + 9 = 0

Podemos fatorar essa equação como:

(r + 3)^2 = 0

Isso nos dá uma raiz dupla r = -3. Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é da forma:

y(t) = (c1 + c2t) e^(-3t)

Para encontrar os valores de c1 e c2, podemos usar as condições iniciais fornecidas:

y(0) = -4 e y'(0) = 14

Substituindo t = 0 e y(0) = -4 na equação acima, obtemos:

-4 = c1

Substituindo t = 0 e y'(0) = 14 na equação acima, obtemos:

14 = -3c1 + c2

Substituindo c1 = -4 na equação acima, obtemos:

14 = 12 + c2

Portanto, c2 = 2. Assim, a solução da equação diferencial é:

y(t) = (-4 + 2t) e^(-3t)

Para resolver essa equação diferencial, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação característica, que é dada por: r² + 6r + 9 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que a raiz é r = -3 (com multiplicidade 2). Então, a solução geral da equação diferencial é: y(t) = c1 * e^(-3t) + c2 * t * e^(-3t) Para encontrar os valores de c1 e c2, usamos as condições iniciais fornecidas: y(0) = -4 y'(0) = 14 Substituindo esses valores na equação acima, obtemos o seguinte sistema de equações: c1 = -4 -3c1 + c2 = 14 Resolvendo esse sistema, encontramos que: c1 = -4 c2 = 2 Portanto, a solução da equação diferencial é: y(t) = -4 * e^(-3t) + 2 * t * e^(-3t)