10) Um jardineiro constrói um jardim em forma de setor circular com perímetro de 30m. Quais devem ser as dimensões de tal jardim, para que sua área...

Para encontrar as dimensões do jardim em forma de setor circular com perímetro de 30m e área máxima, podemos utilizar o seguinte raciocínio: - O perímetro de um setor circular é dado por P = 2πr + 2r, onde r é o raio do setor e 2πr é o comprimento do arco correspondente ao ângulo central do setor. - Como o perímetro do jardim é 30m, temos que 2πr + 2r = 30. - Isolando r na equação acima, temos r = 15/(2π+2). - A área de um setor circular é dada por A = (θ/360)πr², onde θ é o ângulo central do setor. - Como queremos maximizar a área do jardim, precisamos maximizar o ângulo central θ. - Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então podemos dividir o setor circular em um triângulo isósceles e um setor menor. - O ângulo central do setor menor é 360° - 2θ, e o ângulo correspondente no triângulo isósceles é θ. - Usando a lei dos cossenos no triângulo isósceles, temos que r² = a² + (a/2)² - 2a(a/2)cos(θ/2), onde a é o lado do triângulo isósceles. - Isolando a na equação acima, temos a = 2r sen(θ/2). - Substituindo a expressão de r encontrada anteriormente, temos a = 15/(π+1) sen(θ/2). - A área do jardim é dada por A = (θ/360)πr² = (θ/360)π(15/(2π+2))². - Substituindo a expressão de r encontrada anteriormente, temos A = (θ/360)π(15/(π+1))². Para maximizar a área do jardim, precisamos maximizar a expressão acima em relação a θ. Podemos fazer isso derivando a expressão em relação a θ e igualando a zero: dA/dθ = (π/720)(15/(π+1))² (2π-2θ) = 0 Isso nos dá 2π-2θ = 0, ou seja, θ = π. Portanto, o ângulo central do setor circular deve ser de 180°, o que significa que o setor deve ser um semicírculo. Nesse caso, o raio do setor é r = 15/(2π+2), e a área do jardim é A = (1/2)πr² = (1/2)π(15/(2π+2))².