Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, calcule ∫tg^3(x)sec^2(x)dx. Faça a substituição u = sec(x), então du/dx = sec...

Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, podemos reescrever a integral como: ∫tg^3(x)sec^2(x)dx = ∫tg^2(x)sec^2(x)tg(x)dx Fazendo a substituição u = sec(x), temos que du/dx = sec(x)tg(x). Logo, podemos reescrever a integral como: ∫tg^2(x)sec^2(x)tg(x)dx = ∫(u^2 - 1)du Integrando, temos: ∫(u^2 - 1)du = (u^3/3) - u + C Substituindo u = sec(x), temos: ∫tg^3(x)sec^2(x)dx = (sec^3(x)/3) - sec(x) + C Portanto, a resposta é (sec^3(x)/3) - sec(x) + C.