Determine quais das seguintes transformações são lineares: a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, y); b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ 1, y); c) T : R2 → R2,...

Para determinar quais das transformações são lineares, precisamos verificar se elas satisfazem as duas propriedades da linearidade: preservação da soma e preservação da multiplicação por escalar. a) T(x, y) = (x, y) é uma transformação linear, pois preserva a soma e a multiplicação por escalar. b) T(x, y) = (x+1, y) não é uma transformação linear, pois não preserva a origem (T(0,0) = (1,0)). c) T(x, y) = (cos(θ)x - sin(θ)y, sin(θ)x + cos(θ)y) é uma transformação linear, pois preserva a soma e a multiplicação por escalar. d) T(x, y) = (2x² + xy, x) não é uma transformação linear, pois não preserva a soma (T(1,1) + T(1,1) = (3,2) ≠ T(2,2) = (8,2)). e) T(x, y, z) = (2x+y, x+2y, x+2y+z) é uma transformação linear, pois preserva a soma e a multiplicação por escalar. f) T(x, y, z) = (x+3, x+2y+z, y-4z) é uma transformação linear, pois preserva a soma e a multiplicação por escalar. g) T(x, y, z, w) = (2x+y-z+w, x+y-3z) não é uma transformação linear, pois não preserva a multiplicação por escalar (T(1,1,1,1) = (3,-1) ≠ 2T(1,1,1,1) = (6,0)). Portanto, as transformações lineares são: a), c), e) e f).