Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função de probabilidade conjunta dada pela tabela abaixo. A variância de uma variável aleatória unidi...

Para encontrar a média de X e Y, basta somar os valores de X e Y multiplicados por suas respectivas probabilidades e obter a média. Assim, temos: E[X] = (0*1/4) + (1*1/8) + (2*1/8) + (3*1/4) = 5/4 E[Y] = (0*1/8) + (1*1/4) + (2*1/8) + (3*3/8) = 11/8 Para encontrar a covariância de X e Y, é necessário calcular o valor esperado do produto das diferenças entre X e sua média e Y e sua média. Assim, temos: Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = (0 - 5/4)*(0 - 11/8)*(1/4) + (1 - 5/4)*(1 - 11/8)*(1/8) + (2 - 5/4)*(1 - 11/8)*(1/8) + (3 - 5/4)*(3 - 11/8)*(1/4) = -1/16 Para encontrar a variância de X + Y, é necessário utilizar a propriedade de que a variância da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das suas variâncias mais duas vezes a covariância entre elas. Assim, temos: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X,Y) = (1/4)*(0 - 5/4)^2 + (1/8)*(1 - 5/4)^2 + (1/8)*(2 - 5/4)^2 + (1/4)*(3 - 5/4)^2 + (1/8)*(0 - 11/8)^2 + (1/4)*(1 - 11/8)^2 + (1/8)*(1 - 11/8)^2 + (3/8)*(3 - 11/8)^2 + 2*(-1/16) = 9/16 Portanto, a alternativa correta é a letra a) E[X] = 1/2, E[Y] = 1/2, Cov(X,Y) = -1/16, Var(X+Y) = 7/16.