O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de cálculo de área de figuras planas. O teorema tem esse nome, pois foi desenvolvido por George...

Para calcular a área da região D, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiramente, precisamos encontrar a curva C que corresponde à fronteira da região D. Dada a região D, temos que x > 0 e y > 0, o que significa que a região D está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Além disso, temos que 1 ≤ x² + y² ≤ 4, o que representa uma região anular com raio interno 1 e raio externo 2. Para encontrar a curva C, podemos utilizar coordenadas polares. Temos que x = r cos θ e y = r sen θ, onde r é a distância do ponto (x, y) à origem e θ é o ângulo formado pelo ponto (x, y) com o eixo x. Assim, podemos escrever a equação da curva C como: r = 2 (raio externo da região D) r = 1 (raio interno da região D) Vamos calcular a área da região D utilizando o Teorema de Green: ∬D dxdy = ∮C xdy Podemos escrever x em função de θ: x = r cos θ x = 2 cos θ (para r = 2) x = cos θ (para r = 1) Assim, temos: ∮C xdy = ∫0^(π/2) (2 cos θ) (2 sen θ) dθ + ∫π/2^0 (cos θ) (2 sen θ) dθ ∮C xdy = 2 ∫0^(π/2) (cos θ) (sen θ) dθ + 2 ∫0^(π/2) (cos θ) (sen θ) dθ ∮C xdy = 4 ∫0^(π/2) (cos θ) (sen θ) dθ ∮C xdy = 4 [sen²(θ)/2]_0^(π/2) ∮C xdy = 2 Portanto, a área da região D é: ∬D dxdy = ∮C xdy = 2 Assim, a alternativa correta é a letra E) 14/3.