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Question

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“O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do gradiente, diz que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos pontos inicial e final serão iguais.”Fonte: KHAN ACADEMY. “Teorema fundamental das integrais de linha”. Disponível em: . Acesso em: 1 set. 2019.

O teorema de Green é usado para calcular integrais de linha complexas, transformando-as em integrais duplas mais simples. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule a integral de linha (3y − ﻿e à potência de s e n x fim do exponencial﻿)dx + (7x + (﻿y à potência de 4﻿ + 1)dy, dada a curva C: ﻿x ao quadrado espaço mais espaço y ao quadrado espaço﻿ = 9. Considerando esses dados, pode-se afirmar que o resultado da integral é:

40 π.

36 π.

72 π.

18 π.

24 π.

Ed · Answer

Para calcular a integral de linha dada, é necessário aplicar o Teorema de Green. Primeiramente, é preciso encontrar a curva C que delimita a região sobre a qual a integral será calculada. A equação x² + y² = 9 representa uma circunferência de raio 3 e centro na origem.

Para aplicar o Teorema de Green, é preciso calcular as derivadas parciais das funções que compõem a integral em relação a x e y. Assim, temos:

∂Q/∂x = 7
∂P/∂y = 3

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:

∫∫R (3 - 7) dA

Onde R é a região delimitada pela curva C. Como a curva C é uma circunferência de raio 3, podemos calcular a área de R como A = π * 3² = 9π.

Assim, temos:

∫∫R (3 - 7) dA = (3 - 7) * 9π = -36π

Portanto, a alternativa correta é a letra B) -36π.

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Equações Diferenciais I

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