Equações Diferenciais

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2015_2_CALCULO3_01 
 
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Equações Diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Modelos matemáticos são criados para possibilitar o estudo de diversos 
fenômenos e sistemas. As características de um sistema são quantificadas por 
valores e equações ou inequações são utilizadas para descrever as relações 
entre elas. As equações diferenciais constituem-se em instrumento 
fundamental para modelagem de sistemas e solução de intrincados problemas 
de engenharia. Com auxílio de computadores, as equações diferenciais são 
muito utilizadas para simulação de sistemas dinâmicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
1. Stewart, J. Cálculo, vol. II. São Paulo: Pioneira, 2003. 
2. Thomas, G. B. Cálculo, vol. II. São Paulo: Ao Livro Técnico, 1978. 
3. Lang, S. Cálculo, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 1975. 
4. Ayres JR, F. Cálculo Diferencial e Integral, 3ed, Makron Books, São Paulo, 1994. 
5. Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 4. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
(bibliofesurv: 2) 
6. Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. Cálculo – com Aplicações. 4ª 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995. (bibliofesurv:1) 
7. Hughes-Hallett, Deborah; Gleason. Andrew M. et al. Cálculo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 
1997. (bibliofesurv:1) 
8. Silva, Patrícia Nunes da. Equações Diferenciais Ordinárias. UERJ. Disponível em 
http://www.ebah.com.br/uerj-equacoes-diferenciais-ordinarias-pdf-a22463.html 
9. Elsgoltz, L. Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Editorial Mir 
10. Bronson, Richard; Costa, Gabriel, Equações Diferenciais – Coleção Schaum, 3ed, 
Bookman Editora, São Paulo, 2008. 
 
 
 
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2 
 
 
Conceitos Iniciais 
 
Denominam-se equações diferenciais aquelas equações que envolvem uma 
função incógnita e suas derivadas. Se a função incógnita for dependente de 
uma única variável independente, a equação é denominada de equação 
diferencial ordinária (edo). Como exemplos: 
 
 
dxyxdy )32()1 
 
053)2
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
 
x
x
y
dx
dy
dx
dy





 2
)3
2 
0)4
2
2
2









y
dx
dy
dx
yd 
0)5
2
2
2
2






x
y
t
y
. 
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto à ordem e ao grau. A 
ordem de uma equação diferencial é igual à ordem da maior derivada que ela 
contém. Quanto ao grau, uma equação diferencial terá o mais alto grau 
(expoente) de suas derivadas. 
 
Nos exemplos: 1 e 3 são de primeira ordem, 2 e 4 são de segunda ordem, 1 e 
2 são de primeiro grau e 3 e 4 são de segundo grau. 
 
Apenas a equação do exemplo 5 não é ordinária, pois a função incógnita y é 
dependente das variáveis t e x. 
 
É considerada uma solução de uma equação diferencial a equação obtida com 
as variáveis, sem derivadas ou diferenciais, a partir da equação dada. 
 
A solução de uma equação diferencial pode ser geral (com um número de 
constantes arbitrárias essenciais igual à ordem da equação) ou particular (sem 
constantes arbitrárias). 
 
A forma de uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau é 
0),(),(  dyyxGdxyxF
. 
A forma de uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau em que 
as variáveis são separáveis é 
0)().()().( 1221  dyygxfdxygxf
 
sendo sua solução geral obtida através de 
   Cdyyg
yg
dx
xf
xf
)(
)(1
)(
)(1
22
. 
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3 
 
 
Outras Definições 
 
 
 
 
 
 
A definição a seguir foi obtida através do site www.ebah.com.br. 
 
 
Autora: Patrícia Nunes da Silva 
 
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4 
EXEMPLOS 
 
 
1. Mostrar que 
(a) y=2e
x
, (b) y=3x e (c) y=C 1e
x
+C2x, 
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, são soluções da equação diferencial 
y”(1-x)+y’x-y=0. 
 
Resolução: 
 
a) Deriva-se 
y=2e
x
 
encontrando-se 
y’=2ex e y”=2ex. 
Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial 
y”(1-x)+y’x-y=0 
obtendo-se 
2e
x
(1-x)+2e
x
x-2e
x
=0 
2e
x
-2e
x
x+2e
x
x-2e
x
=0 
0=0 
 
b) Derivando 
y=3x 
obtém-se 
y’=3 e y”=0 
Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial 
y”(1-x)+y’x-y=0 
0 (1-x)+3x-3x=0 
0=0 
 
c) Derivando 
y=C1e
x
+C2x 
obtém-se 
y’= C1e
x
+C2 e y”= C1e
x
 
Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial 
y”(1-x)+y’x-y=0 
C1e
x
(1-x)+(C1e
x
+C2)x-(C1e
x
+C2x)=0 
C1e
x
- C1e
x
 x+C1e
x
x+C2x-C1e
x
-C2x=0 
0=0 
 
A solução dada em (c) é a solução geral da equação diferencial (onde estão presentes as 
constantes arbitrárias C1 e C2). Ela é a equação geral por satisfazer à equação dada e 
conter o número máximo de constantes arbitrárias (no caso, duas, já que a equação 
diferencial é de segunda ordem). As soluções (a) e (b) são soluções particulares, pois 
podem ser obtidas a partir de determinados valores atribuídos às constantes C1 e C2. Em 
(a) C1=2 e C2=0 e em (b) C1=0 e C2=3. 
 
 
 
 
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5 
2. Formar a equação diferencial cuja solução geral é: 
(a) y=Cx
2
-x e (b) y=C1x
3
+C2x+C3 . 
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, são soluções da equação diferencial 
y”(1-x)+y’x -y=0. 
 
Resolução: 
 
a) Derivando 
y=Cx
2
-x 
obtém-se 
y’=2Cx-1 
De onde se obtém 
𝐶 = 
𝑦′+1
2𝑥
 . 
Substituindo na equação 
y=Cx
2
-x 
resulta em 
𝑦 = 
𝑦′+1
2𝑥
 𝑥2 − 𝑥. 
Daí 
𝑦 + 𝑥 = 
𝑦′ + 1
2
 𝑥 
2𝑦 + 2𝑥 = 𝑦′𝑥 + 𝑥 
y’x=2y+x. 
 
b) Derivando 
y=C1x
3
+C2x+C3 
obtém-se 
y’=3C1x
2
+C2 , y”=6C1x e y”’=6C1 . 
De onde se obtém 
𝐶1 = 
𝑦′′′
6
 e 𝐶1 = 
𝑦′′
6𝑥
 . 
Substituindo na equação 
y=C1x
3
+C2x+C3 
resulta no sistema 
{
 
 𝑦 =
𝑦′′′
6
𝑥3 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3
𝑦 =
𝑦′′
6𝑥
𝑥3 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3
 
Fazendo a diferença entre a primeira equação e a segunda, obtém-se 
 
𝑦′′′
6
𝑥3 −
𝑦′′
6
𝑥2 = 0. 
Daí: 
y’’=xy’’’ 
 
 
 
 
Autor: Frank Ayres Jr 
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6 
EXERCÍCIOS 
 
Nos exercícios a seguir, mostrar que a equação (a) expressa uma solução da 
equação diferencial (b). 
 
 1) (a) y =5ex (b) dy/dx=y 
 
 
 2) (a) y=sen5x (b) d2y/dx2=-25y 
 
 
 3) (a) y=5ex (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 
 
 
 4) (a) y=5x (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 
 
 
 5) (a)y=Cex+Kx (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 
 
 
 6) (a) y=5x (b) y’x-y=0 
 
 
 7) (a) y2=x2+2 (b) y’y=x 
 
 
 8) (a) (x+1)(y-1)=2 (b)dy/dx=(1-y)/(1+x) 
 
 
 9) (a) 
3
2
5
x
ey


 (b) dy/dx=-(2/3)y 
 
 
10) (a) (1/y)=x+1+2ex (b) y’+y=xy2 
 
 
11) (a) 
3
4
3
1 xey 
 (b) y’-3x2y-x2=0 
 
 
12) (a) 
4
2 2
2
x
x
y 
 (b) 
x
x
y
dx
dy

2
 
 
 
13) (a) y=9e-3x+5e3x-(5/9) (b) y’’=9y+5 
 
14) (a) 𝑦 = (
3
2
𝑥2 + 5)
1
3
 (b) xdx-y2dy=0 
 
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7 
Soluções de Equações Diferenciais 
 
Após conhecer as equações diferenciais e identificar se uma expressão é 
solução ou não, se estudará como obter soluções de equações diferenciais. 
 
 
Autora: Patrícia Nunes da Silva 
 
 
 
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Autora: Patrícia Nunes da Silva 
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Autora: Patrícia Nunes da Silva 
 
Exemplo 1 
 Resolver 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥Separam-se as variáveis 
𝑑𝑦
𝑦
= −
𝑑𝑥
𝑥
 
 É necessário integrarem-se ambos os lados 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫−
𝑑𝑥
𝑥
 
ln 𝑦 = − ln 𝑥 + 𝐶1 
ln 𝑦 + ln 𝑥 = 𝐶1 
ln 𝑥. 𝑦 = 𝐶1 
𝑥𝑦 = 𝑒𝐶1 
Fazendo C=e
C1
 
𝑥𝑦 = 𝐶 
𝑦 =
𝐶
𝑥
 
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Exemplo 2 
 
 Resolver 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥√𝑦 − 1 
Separam-se as variáveis 
𝑑𝑦
√𝑦 − 1
= 2𝑥𝑑𝑥 
 É necessário integrarem-se ambos os lados 
∫
𝑑𝑦
√𝑦 − 1
= ∫2𝑥𝑑𝑥 
∫
𝑑𝑦
(𝑦 − 1)
1
2⁄
= ∫2𝑥𝑑𝑥 
∫(𝑦 − 1)−
1
2⁄ 𝑑𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥 
 Integração por substituição resulta em 
2√𝑦 − 1 = 𝑥2 + 𝐶 
 Ambos os membros ao quadrado 
4(𝑦 − 1) = (𝑥2 + 𝐶)2 
Isolando y 
𝑦 =
(𝑥2 + 𝐶)2
4
+ 1 
 
Exemplo 3 
 
 Resolver 
𝑦′ = −
(1 + 𝑥)𝑦
(1 − 𝑦)𝑥
 
Separam-se as variáveis 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
(1 + 𝑥)𝑦
(1 − 𝑦)𝑥
 
(1 − 𝑦)𝑑𝑦
𝑦
= −
(1 + 𝑥)𝑑𝑥
𝑥
 
É necessário integrarem-se ambos os lados 
∫
(1 − 𝑦)𝑑𝑦
𝑦
= ∫−
(1 + 𝑥)𝑑𝑥
𝑥
 
∫(
1
𝑦
− 1)𝑑𝑦 = −∫(
1
𝑥
+ 1)𝑑𝑥 
ln y – y = -ln x – x +C 
ln y + ln x + x – y = C 
ln xy + x – y = C 
 
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Exemplo 4 
 
 Resolver 
x dx + y dy =0 
Separam-se as variáveis 
y dy = -x dx 
É necessário integrarem-se ambos os lados 
∫𝑦 𝑑𝑦 = −∫𝑥 𝑑𝑥 
𝑦2
2
= −
𝑥2
2
+ 𝐶1 
Multiplicando por 2 
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝐶1 
Fazendo C=2C1 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝐶 
Que é a equação das circunferências com centro na origem do plano xy. 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 Resolver 
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
𝑥
 
As variáveis já estão separadas, portanto integram-se ambos os membros 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑥
𝑥
 
ln y = ln x + C1 
ln y - ln x = C1 
ln y/x = C1 
y/x = e
C1
 
Fazendo C= e
C1 
y =Cx 
 
 
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Exemplo 6 
 Resolver 
x(1+y
2
)dx – y(1+x
2
)dy=0 
Separam-se as variáveis 
𝑦𝑑𝑦
(1 + 𝑦2)
=
𝑥𝑑𝑥
(1 + 𝑥2)
 
É necessário integrarem-se ambos os lados 
∫
𝑦𝑑𝑦
(1 + 𝑦2)
= ∫
𝑥𝑑𝑥
(1 + 𝑥2)
 
 Integração por substituição resulta em 
ln (1+y
2
) = ln (1+x
2
) + C1 
ln(1 + y2) − ln(1 + 𝑥2) = 𝐶1 
ln
(1 + y2)
(1 + 𝑥2)
 = 𝐶1 
(1 + y2)
(1 + 𝑥2)
 = 𝑒𝐶1 
Fazendo C= e
C1 
(1 + y2) = 𝐶(1+ 𝑥2)
𝐶1
 
 
Exemplo 7 
 Resolver 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑡√𝑥 
Separam-se as variáveis 
𝑑𝑥
√𝑥
= 4𝑡 𝑑𝑡 
 
𝑥−
1
2 ⁄ 𝑑𝑥 = 4𝑡 𝑑𝑡 
2𝑥
1
2 ⁄ = 4
𝑡2
2
+ 𝐶1 
2√𝑥 = 2 𝑡2 + 𝐶1 
Dividindo por 2 
√𝑥 = 𝑡2 +
𝐶1
2
 
Fazendo 
𝐶 =
𝐶1
2
 
√𝑥 = 𝑡2 + 𝐶 
 
 
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13 
 EXERCÍCIOS 
 
Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir. 
 
 
 
 1) y’=y 
 
 
 2) 
0 x
dx
dy
y
 
 
 
 3) 
0 y
dx
dy
x
 
 
 
 4) 
x
dx
y
dy


 11
 
 
 
 5) 
ay
dx
dy

 
 
 
 6) 
02'3 3  xyy
 
 
 
 7) 
y
x
y
y
x 2
2
3
'
13
1


 
 
 
 8) 
2
1
'2 yyx
 
 
 
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14 
Equações Diferenciais Homogêneas 
 
 
 
 
 
Uma função f(x,y) é chamada de homogênea de grau n se 
 
f(kx,ky)=knf(x,y) 
 
 
Um exemplo de uma função homogênea de primeiro grau é a função 
f(x,y)=2x+3y pois 
 
f(kx,ky)=2(kx)+3(ky) 
f(kx,ky)=k(2x)+k(3y) 
f(kx,ky)=k(2x+3y) 
f(kx,ky)=k f(x,y). 
 
 
Já a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea do segundo grau: 
 
f(kx,ky)=(kx)2+(ky)2 
f(kx,ky)=k2x2+k2y2 
f(kx,ky)= k2(x2+y2) 
f(kx,ky)=k2f(x,y). 
 
 
A função f(x,y)=x2+y não é homogênea: 
 
f(kx,ky)=(kx)2+ky 
f(kx,ky)=k2x2+ky 
f(kx,ky)= k(kx2+y) 
f(kx,ky)≠knf(x,y). 
 
 
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15 
A equação diferencial de primeira ordem do tipo 
 
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 
 
em que M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau pode ser 
escrita na forma 







x
y
F
dx
dy 
 
e é chamada de equação diferencial homogênea de primeira ordem. 
 
Para se encontrar a solução de uma equação diferencial homogênea de 
primeira ordem procede-se uma troca de variáveis: 
 
x
y
v 
 
e, assim 







x
y
FvF )( . 
 
Daí 
 
dx
dv
xvvF
dx
dv
xv
x
y
F
dx
dv
xv
dx
dy
dx
dx
v
dx
dv
x
dx
dy
vxy










)(
 
 
E a solução será obtida através de 
 
vvF
dv
x
dx


)(
. 
 
 
 
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16 
 
EXEMPLO 
 
 
Autora: Patrícia Nunes da Silva 
 
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17 
EXERCÍCIOS 
 
Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir: 
 
 
 1. (x2-2y2)dy+2xydx=0 Ayres 
 
 2. (x2+y2)dx+2xydy=0 Thomas 
 
 3. (x+y)dy+(x-y)dx=0 Thomas 
 
 4. x2dy+(y2-xy)dx=0 Thomas 
 
 5. 
0








 xdydxyxe x
y Thomas 
 
6. 
    0cos  ydxxdy
x
y
yxdyydx
x
y
senx
 Ayres 
 
7. 
1
'

 yx
xy
 
 
8. 
0)(  ydxdyyx
 
 
 
 
 
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18 
 
Equações Diferenciais Lineares 
 
 
 
 
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita na forma 
 
)()( xQyxP
dx
dy
 
 
onde todos os termos são de grau zero ou um. 
 
 
Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, comumente se 
multiplica a equação por um fator r=r(x) tal que a parte da equação antes do 
sinal de igual resulte na derivada de r.y [(r.y)’=r’y+ry’]. 
Assim, utilizando simplificadamente a notação P=P(x) e Q=Q(x) 
 
QPy
dx
dy

 
e multiplicando-se por r 
QrPyr
dx
dy
r ... 
. 
 
A função r=r(x) deverá atender à condição 
 
dx
ryd
Pyr
dx
dy
r
)(
.. 
. 
Daí 
 
dx
dr
y
dx
dy
rPyr
dx
dy
r  ..
 
 
dx
dr
yPyr .
 
 
Pr
dx
dr
.
. 
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19 
Separando as variáveis 
Pdx
r
dr

. 
 
Resolvendo 
  Pdxr
dr
 
 
21ln CPdxCr  
. 
Fazendo C2-C1=lnC 
CPdxr lnln  
 
 
 PdxCr lnln
 
 
 PdxC
r
ln
 
 

Pdx
Cer
. 
 
Com C=1, tem-se 

Pdx
er . 
 
Com o r assim definido, a equação 
 
QrPyr
dx
dy
r ... 
 
torna-se 
Qr
dx
ryd
.
)(

 
que tem como solução 
 
CdxQryr   .. . 
 
 
 
 
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2015_2_CALCULO3_01 
 
20 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Resolver a equação (Thomas) 
xey
dx
dy

. 
Resolução: 
 
Tem-se P=1 e Q=ex. 
 
Portanto, como 

Pdx
er 
 
xdx eer 
.1 
 
deve ser o fator a multiplicar a equação. 
 
Assim a solução será 
 
CdxQryr   .. 
 
Cdxeye xx  
2.
 
 
Ceye xx  2
2
1
.
 
 
xx Ceey 
2
1 
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21 
EXERCÍCIOS 
 
Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir (Thomas): 
 
 1. 
22
x
ey
dx
dy

 
 
 2. 
23 xy
dx
dy
x 
 
 
 3. 
xey
dx
dy  2
 
 
 4. 
2
3
x
senx
y
dx
dy
x 
 
 
5. 
dxsenxydxxdy 
 
 
 
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22 
Equações Diferenciais de 2ª Ordem 
 
 
Serão analisados apenas alguns tipos especiais de equações diferenciais desegunda ordem. Os tipos especiais aqui estudados têm solução facilitada por 
poder, através de convenientes transformações, recaírem em equações 
diferenciais de primeira ordem. 
 
Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma 
 
0,,,
2
2









dx
yd
dx
dy
yxF 
 
sendo que serão estudados quatro tipos especiais: 
 
Tipo 1 
0,
2
2









dx
yd
xF 
 
Tipo 2 
0,,
2
2









dx
yd
dx
dy
xF 
 
Tipo 3 
0,
2
2









dx
yd
yF 
 
Tipo 4 
RQy
dx
dy
P
dx
yd

2
2
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
23 
Tipo 1 
 
Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 1, as 
equações que não contém a variável y nem sua derivada primeira, ou seja: 
 
0,
2
2









dx
yd
xF 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
Resolver a equação (Ayres) 
xxe
dx
yd x cos
2
2

. 
Resolução: 
 
Reescrevendo o primeiro membro 
xxe
dx
dy
dx
d x cos




 
e integrando ambos os membros em relação a dx 
dxxxe
dx
dy x cos 
 
obtém-se 
1Csenxexe
dx
dy xx 
. 
Com uma nova integração 
dxCsenxexey xx )( 1 
 
chega-se à solução geral 
 
21cos2 CxCxexey
xx 
 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
24 
Tipo 2 
 
 
Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 2, as 
equações que não contém a variável y mas sim sua derivada primeira, ou seja: 
 
 
0,,
2
2









dx
yd
dx
dy
xF 
 
Neste caso, a inclusão de nova variável p tal que 
 
dx
dy
p 
 
e, portanto 
 
2
2
dx
yd
dx
dp

. 
Lembrando a derivada do produto 
 
pdxxdpxpd )(
 
e sua integral 
 
)( pdxxdpxp  
 
 
 
EXEMPLO 
 
Resolver a equação (Ayres) 
a
dx
dy
x
dx
yd
x 
2
2
2 . 
Resolução: 
 
Substitui-se 
dx
dy
p 
 e 
2
2
dx
yd
dx
dp

 
obetndo-se 
axp
dx
dp
x 2
. 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
25 
A seguir, multiplica-se por 
x
dx 
x
adx
pdxxdp 
 
 
cuja integral é 
1ln Cxaxp 
. 
Voltando a transformação 
1ln Cxa
dx
dy
x 
 
 
x
dx
Cdx
x
xa
dy 1
ln

 
 
e a última integração resulta em 
 
 
21
2
ln
2
ln
CxC
xa
y 
 
 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
26 
Tipo 3 
 
Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 3, as 
equações que não contém a variável independente x nem a derivada primeira 
de y, ou seja: 
 
0,
2
2









dx
yd
yF 
 
Neste caso, se utilizará a derivada do quadrado de uma função 
 
2)'(yv 
 
'"..2' yyv 
 
 
 
EXEMPLO 
 
Resolver a equação (Ayres) 
02
2
2
 y
dx
yd . 
 
 
Resolução: 
 
Usando a notação 
02"  yy
 
e multiplicando-se por 2y’ 
'4"'2 yyyy 
 
e integrando-se em relação a dx 
  dxyyy '4' 2 
 
  dx
dx
dy
yy  4'
2 
  1
22 2' Cyy 
 
1
22 Cy
dx
dy

 
dx
Cy
dy

 1
22
 
 
 
Nova integração, com a fórmula 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
27 
Cauu
au
du





 

22
22
ln
 
 
resulta em 
  dx
du
Cu 2
.
1
1
 
 
 
2
1
2
ln
2
22ln
Cx
Cyy






 
 
 
xeCCyy 221
222 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
28 
Tipo 4 
 
Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 4, as 
equações que podem ser escritas na forma 
 
RQy
dx
dy
P
dx
yd

2
2
 
com P e Q constantes e R constante ou função de x apenas. 
Se 
02  QPmm
 
tem raízes m1≠m2 então 
xm
eC
xm
eCy 22
1
1 
 
é a solução geral de 
0
2
2
 Qy
dx
dy
P
dx
yd . 
Se m1=m2=m, a solução geral é 
mxxeCmxeCy 21 
 
A solução geral de 
0
2
2
 Qy
dx
dy
P
dx
yd 
é a função complementar de 
)(
2
2
xRQy
dx
dy
P
dx
yd

 
se y=f(x) satisfizer esta última e 
 y=função complementar+f(x) 
será sua solução geral. 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Resolver a equação (Ayres) 
043
2
2
 y
dx
dy
dx
yd . 
 
Resolução: 
m2+3m-4=0 
tem como raízes 
m1=1 e m2=-4 
assim, a solução é 
 y=C1e
x+C2e
-4x 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
29 
 
 
 
 
2) Resolver a equação (Ayres) 
2
2
2
43 xy
dx
dy
dx
yd

. 
Resolução: 
 
Do exemplo anterior, a função complementar é 
 
y=C1e
x+C2e
-4x 
 
Uma solução particular deve ser do segundo grau, pois R(x)=x2. 
 
Assim, 
y=Ax2+Bx+C, y’=2Ax+B e y’’=2A 
 
são substituídos na equação 
 
2A+3(2Ax+B)-4(Ax2+Bx+C )=x2 
 
-4Ax2+(6A-4B)x+(2A+3B-4C)=x2 
de onde se obtém 
 
32
13
8
3
,
4
1
 CeBA
 
 
Daí a solução particular será 
12
13
8
3
4
1 2  xxy
 
 
e a solução geral 
 
12
13
8
3
4
1 24
21 
 xxeCeCy xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
prof.Marcos 
 
2015_2_CALCULO3_01 
 
30 
EXERCÍCIOS 
 
Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir (Ayres): 
 
1. 
0
2
2
 senx
dx
yd
 
 
2. 
03
2
2
 xe
dx
yd x
 
 
3. xy”+y’+x=0 
 
4. 
3
1
''
y
y 
 
5. 
03
2
2

dx
dy
dx
yd 
 
6. 
0134
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
 
7. 
044
2
2
 y
dx
dy
dx
yd