1º) O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D delimi...

Para calcular a integral de linha ∮(2x + 4y²)dx + (4xy)dy no caminho C que é o retângulo de vértices (0,0), (3,0), (3,5), e (0,5), podemos utilizar o Teorema de Green. O Teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada simples C é igual à integral dupla do rotacional de F sobre a região D delimitada por C. Ou seja: ∮ F · dr = ∬ rot(F) · dA Onde F é um campo vetorial, dr é um elemento de comprimento ao longo de C, rot(F) é o rotacional de F e dA é um elemento de área sobre a região D. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos calcular o rotacional de F: rot(F) = (∂Q/∂x - ∂P/∂y) i + (∂P/∂x + ∂Q/∂y) j Onde F = P i + Q j. No nosso caso, temos: F = (2x + 4y²) i + (4xy) j P = 2x + 4y² Q = 4xy Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Q/∂x = 4y ∂P/∂y = 8y ∂P/∂x = 2 ∂Q/∂y = 4x Portanto: rot(F) = (4x) i + (2 - 4y) j Agora podemos calcular a integral dupla de rot(F) sobre a região D delimitada por C: ∬ rot(F) · dA = ∫∫D (4x) dA + ∫∫D (2 - 4y) dA Integrando em relação a y primeiro, temos: ∫∫D (4x) dA = ∫0³ ∫0⁵ (4x) dy dx = 2³.5.4 = 120 ∫∫D (2 - 4y) dA = ∫0³ ∫0⁵ (2 - 4y) dy dx = 2³.5.(-8/2) = -80 Somando as duas integrais, temos: ∬ rot(F) · dA = 120 - 80 = 40 Portanto, a integral de linha ∮(2x + 4y²)dx + (4xy)dy no caminho C que é o retângulo de vértices (0,0), (3,0), (3,5), e (0,5) é igual a 40.