Pelo ponto Q(2, 1) conduz-se uma reta r qualquer, que intercepta os eixos coordenados x e y respectivamente em A e B. Se M é o ponto médio de AB, t...

Primeiramente, vamos encontrar as coordenadas dos pontos A e B. Como a reta r intercepta o eixo x em A, temos que A está na forma (x, 0). Já para B, como a reta intercepta o eixo y em B, temos que B está na forma (0, y). Agora, vamos encontrar a equação da reta r. Sabemos que ela passa pelos pontos Q e A, então podemos usar a fórmula da equação da reta que é y = mx + b, onde m é a inclinação da reta e b é o ponto onde a reta intercepta o eixo y. A inclinação da reta é dada por m = (y2 - y1) / (x2 - x1), onde (x1, y1) = Q(2, 1) e (x2, y2) = A(x, 0). Substituindo, temos: m = (0 - 1) / (x - 2) = -1 / (x - 2) Agora, podemos encontrar o valor de b. Sabemos que a reta passa pelo ponto A(x, 0), então podemos substituir na equação da reta: 0 = (-1 / (x - 2)) * x + b b = x / (x - 2) Portanto, a equação da reta r é y = (-x / (x - 2)) + (x / (x - 2)) = -2 / (x - 2). Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto M, que é o ponto médio de AB. Temos: M = ((x + 2) / 2, y / 2) Por fim, vamos encontrar as coordenadas do ponto P, que é simétrico de Q em relação a M. Podemos usar a fórmula de simetria: P = 2M - Q P = (x + 2 - 4, y - 2) Simplificando, temos: P = (x - 2, y - 2) Portanto, o lugar geométrico descrito por P ao variar r é uma reta que passa pelo ponto (-2, -2) e tem inclinação igual a -1. A equação dessa reta é y = -x - 2.