Consideremos os grupos G = (�×�,+), J = (�,+) a função φ : G −→ J definida por φ(x, y) = 3x−5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e deter...

Para mostrar que φ é um homomorfismo de grupos, precisamos verificar se φ preserva a operação de grupo. Ou seja, se para quaisquer (x1, y1), (x2, y2) ∈ G, temos que: φ((x1, y1) + (x2, y2)) = φ(x1 + x2, y1 + y2) = 3(x1 + x2) - 5(y1 + y2) = (3x1 - 5y1) + (3x2 - 5y2) = φ(x1, y1) + φ(x2, y2) Portanto, φ é um homomorfismo de grupos. Para determinar N(φ), precisamos encontrar todos os elementos de G que são mapeados para o elemento neutro de J, que é 0. Ou seja, precisamos encontrar todos os pares (x, y) ∈ G tais que φ(x, y) = 0. Temos: φ(x, y) = 3x - 5y = 0 3x = 5y x = (5/3)y Portanto, N(φ) é o conjunto de todos os pares (5k, 3k) ∈ G, onde k ∈ Z. Em outras palavras: N(φ) = {(5k, 3k) | k ∈ Z}