Considere a equacao dy/dt = a + y^2. Encontre todos os pontos criticos da equacao. Note que nao existem pontos criticos se a < 0, existe um ponto c...

Para encontrar os pontos críticos da equação, precisamos igualar dy/dt a zero e resolver para y. Temos: dy/dt = a + y^2 = 0 y^2 = -a y = +/- sqrt(-a) Se a < 0, não existem pontos críticos reais. Se a = 0, temos um ponto crítico em y = 0. Se a > 0, temos dois pontos críticos em y = +/- sqrt(a). Para determinar a estabilidade dos pontos críticos, precisamos analisar o sinal de dy/dt em torno de cada ponto. Podemos fazer isso traçando a reta de fase para cada caso. Para a = 0, temos dy/dt = y^2, que é positivo para y > 0 e negativo para y < 0. Portanto, o ponto crítico em y = 0 é instável. Para a > 0, temos dy/dt = a + y^2, que é positivo para y < -sqrt(a) e y > sqrt(a) e negativo para -sqrt(a) < y < sqrt(a). Portanto, os pontos críticos em y = +/- sqrt(a) são estáveis. O diagrama de bifurcação para a equação mostra a localização dos pontos críticos em função de a. Para a < 0, não há pontos críticos reais. Para a = 0, há um ponto crítico em y = 0. Para a > 0, há dois pontos críticos em y = +/- sqrt(a). A bifurcação em a = 0 é chamada de bifurcação de sela-nó. Para desenhar as soluções da equação no plano ty, precisamos resolver a equação diferencial. Podemos fazer isso separando as variáveis e integrando ambos os lados: dy/(a + y^2) = dt Integrando, temos: (1/sqrt(a)) arctan(y/sqrt(a)) = t + C onde C é a constante de integração. Podemos resolver para y em termos de t: y = sqrt(a) tan(sqrt(a)(t + C)) Podemos desenhar várias soluções da equação no plano ty para cada caso.