Considere a equacao dy/dt = a*y - y^3. Encontre todos os pontos criticos da equacao. Note que nao existem pontos criticos se a < 0, existe um ponto...

Para encontrar os pontos críticos da equação, precisamos igualar dy/dt a zero e resolver para y. Temos: dy/dt = a*y - y^3 = 0 y*(a - y^2) = 0 Portanto, os pontos críticos são y = 0 e y = +/- sqrt(a). Agora, vamos desenhar a reta de fase em cada caso: 1) a < 0: Não existem pontos críticos. 2) a = 0: Existe um ponto crítico em y = 0. A reta de fase é uma reta horizontal passando pelo ponto crítico. O ponto crítico é assintoticamente estável. 3) a > 0: Existem dois pontos críticos em y = +/- sqrt(a). A reta de fase é uma curva que passa pelos pontos críticos e se aproxima deles assintoticamente. Os pontos críticos são assintoticamente estáveis se a < 1, semiestáveis se a = 1 e instáveis se a > 1. Para desenhar as soluções da equação no plano ty, precisamos resolver a equação diferencial. Temos: dy/dt = a*y - y^3 dy/(a*y - y^3) = dt Integrando ambos os lados, obtemos: 1/2 * ln((y^2 - a)/y^2) = t + C Simplificando, temos: (y^2 - a)/y^2 = e^(2t+2C) y^2 = a/(1 - Ce^(2t)) Agora, podemos desenhar as soluções no plano ty para diferentes valores de a e C. Por fim, o diagrama de bifurcação para a equação é obtido fazendo o gráfico da localização dos pontos críticos em função de a no plano ay. A bifurcação em a = 0 é chamada de bifurcação de sela-nó.