Seja f X Y ( x , y ) = x e − x ( y + 1 ) para x ∈ ( 0 , ∞ ) e y ∈ ( 0 , ∞ ) , e zero no conjunto complementar. Encontre os valores para as fun...

Para encontrar as funções de densidade marginais fX(x) e fY(y), precisamos integrar a função de densidade conjunta fXY(x,y) em relação à variável que não estamos interessados. fX(x) = ∫fXY(x,y)dy, de 0 a infinito fX(x) = ∫x*e^(-x(y+1))dy, de 0 a infinito fX(x) = xe^(-x) * ∫e^(-xy)dy, de 0 a infinito fX(x) = xe^(-x) * [-1/x * e^(-xy)] de 0 a infinito fX(x) = xe^(-x) * [0 - (-1/x)] fX(x) = xe^(-x)/x fX(x) = e^(-x), para x > 0 Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal fY(y): fY(y) = ∫fXY(x,y)dx, de 0 a infinito fY(y) = ∫x*e^(-x(y+1))dx, de 0 a infinito fY(y) = ∫x*e^(-xy) * e^(-x)dx, de 0 a infinito fY(y) = ∫x*e^(-xy)dx * e^(-x), de 0 a infinito fY(y) = [-1/y * e^(-xy)] * e^(-x), de 0 a infinito fY(y) = -e^(-x(y+1))/y, de 0 a infinito Portanto, as funções de densidade marginais são: fX(x) = e^(-x), para x > 0 fY(y) = -e^(-x(y+1))/y, de 0 a infinito