Considere o ponto P = (−1, 3), o vetor −→v = (1, 2) e a reta r que passa por P e é perpendicular à−→v para responder as questões 1, 2 e 3: Ques...

Questão 1: Para encontrar a equação cartesiana da reta r, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular a −→v. O coeficiente angular da reta perpendicular é o inverso do coeficiente angular de −→v, ou seja, -1/2. Agora, podemos usar o ponto P para encontrar a equação cartesiana da reta r: y - y1 = m(x - x1), onde m é o coeficiente angular e (x1, y1) é o ponto P. Substituindo os valores, temos: y - 3 = -1/2(x + 1). Simplificando, temos a equação cartesiana da reta r: y = -1/2x + 5/2. Questão 2: Para encontrar as equações paramétricas das retas s1 e s2, precisamos encontrar dois pontos em cada reta. Sabemos que a distância entre as retas é √5, então podemos encontrar um ponto em cada reta que esteja a uma distância de √5 da reta r. Para encontrar esses pontos, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. A distância entre um ponto (x0, y0) e a reta ax + by + c = 0 é d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2). Substituindo os valores, temos: d = |x + 2y - 5/2|/√5 d = |x + 2y - c|/√5 Igualando as duas equações, temos: |x + 2y - 5/2| = |x + 2y - c| Isso nos dá duas equações: x + 2y - 5/2 = x + 2y - c x + 2y - 5/2 = -(x + 2y - c) Resolvendo para c, temos: c = 5/2 + √5 c = 5/2 - √5 Agora, podemos encontrar os pontos em cada reta. Para s1, podemos usar o ponto P e o vetor −→v para encontrar um ponto na reta que esteja a uma distância de √5 da reta r. Podemos usar a fórmula P + t(−→v) para encontrar esse ponto. Substituindo os valores, temos: P + t(−→v) = (-1, 3) + t(1, 2) P + t(−→v) = (t - 1, 2t + 3) Agora, podemos encontrar outro ponto em s1 que esteja a uma distância de √5 da reta r. Podemos usar a fórmula do ponto médio entre dois pontos para encontrar esse ponto. O ponto médio entre P e o ponto que encontramos acima é ((t - 2)/2, (2t + 6)/2). Esse ponto está a uma distância de √5 da reta r, então podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para encontrar a equação paramétrica de s1. Substituindo os valores, temos: d = |x + 2y - 5/2|/√5 √5 = |(t - 2)/2 + 2(2t + 6)/2 - 5/2|/√5 √5 = |5t/2 - 7/2|/√5 5t/2 - 7/2 = √5 5t/2 - 7/2 = -√5 Resolvendo para t, temos: t = (7 + 2√5)/5 t = (7 - 2√5)/5 Substituindo esses valores na fórmula P + t(−→v), temos: s1: x = -1 + (7 + 2√5)/5t, y = 3 + (14 + 4√5)/5t s1: x = -1 + (7 - 2√5)/5t, y = 3 + (14 - 4√5)/5t Para s2, podemos usar o mesmo método para encontrar os pontos e a equação paramétrica. A única diferença é que usamos o vetor oposto a −→v para encontrar os pontos. Substituindo os valores, temos: s2: x = -1 - (7 + 2√5)/5t, y = 3 - (14 + 4√5)/5t s2: x = -1 - (7 - 2√5)/5t, y = 3 - (14 - 4√5)/5t Questão 3: Para fazer o esboço, podemos usar um sistema de coordenadas cartesianas e desenhar as retas r, s1 e s2. Podemos usar a equação cartesiana de r para encontrar dois pontos na reta e traçar a reta. Podemos usar as equações paramétricas de s1 e s2 para encontrar vários pontos nas retas e traçá-las. É importante usar uma régua para que a escala seja correta. O esboço deve ficar parecido com a figura fornecida na questão.