Em um triângulo de vértices A, B e C, sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Mostre que o segmento MN é paralelo ao lado ...

Para mostrar que o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB, podemos utilizar o Teorema de Tales. Sejam P o ponto de interseção entre MN e AB e Q o ponto de interseção entre MN e BC. Temos que: - Como M é o ponto médio de AC, temos que AM = MC. - Como N é o ponto médio de BC, temos que BN = NC. - Logo, temos que MP = PN, pois ambos são iguais a metade de AB. - Pelo Teorema de Tales, temos que MP/PB = NP/BC. - Substituindo MP por PN e PB por AB - PN, temos que PN/(AB - PN) = NP/BC. - Multiplicando ambos os lados por BC(AB - PN), temos que PN*BC = NP*(AB - PN). - Expandindo os produtos, temos que PN*BC = NP*AB - NP*PN. - Como MP = PN, temos que NP*PN = NP*MP. - Substituindo NP*PN por NP*MP, temos que PN*BC = NP*AB - NP*MP. - Dividindo ambos os lados por NP, temos que PN/AB = MP/NP. - Como PN = MP, temos que PN/AB = MP/MP. - Logo, PN/AB = 1 e, portanto, PN = AB/2. Assim, mostramos que o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB.