Como demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é ...

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Como demonstrar que o segmento de
extremos nos pontos médios dos lados
não­paralelos de um trapézio é ....?
paralelo às bases e igual a sua semi­soma?
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 Melhor resposta:  olá 
Por favor, peço para que faça o desenho das linhas a medida em que eu for
citando na explicação. Será bom inclusive como exercício. 
Vamos provar antes o teorema da Base Média do Triângulo que servirá como
base para provar o Teorema da Base Média do Trapézio (esse que você quer).
Esse teorema diz o seguinte: "Se em um triângulo tomamos os respectivos
pontos médios de dois lados de um triângulo, e por esses dois pontos
conduzirmos um segmento de reta, esse segmento será: Paralelo ao terceiro
lado e sua medida será metade da medida desse terceiro lado." 
Demonstração: 
Seja um triângulo ABC. 
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os pontos médioe dos lados não paralelos
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Seja o ponto M, ponto médio de AB e o ponto N, ponto médio de AC 
Construamos um segmento de extremidades M e N. 
Façamos uma reta paralela ao lado AB, e que passe pelo ponto C. Chamemos
essa reta de: reta "s". 
Seja Q o ponto de interseção da reta MN com a reta "s". 
Prolongue o segmento AB com o lápis, como se uma reta passasse por ele.
Apenas para ficar mais fácil a visualização. 
Vá demarcando os ângulos congruentes: 
ângulos ANM e QNC congruentes (ângulos opostos pelo vertice) 
ângulos MAN e QCN congruentes (a reta "s" e a reta que passa por AB são
paralelas e a reta AC é uma transversal. Portanto seus ângulos alternos
internos são congruentes.) 
segmento AN congruente ao segmento NC (N é o ponto médio do segmento
AC) 
Utilizando o caso ALA de congruencia de triângulos, concluimos que os
triângulos AMN e CQN são congruentes. 
Disto resta que: o segmento CQ é congruente ao segmento AM. 
Como M é o ponto médio do segmento AB, resulta que AM é congruente a
MB. 
Utilizando uma propriedade dos paralelogramos, que diz: 
"Se dois segmentos são paralelos e são congruentes, suas extremidades são
vértices de um paralelogramo" 
Podemos ver que os segmentos MB e CQ são congruentes e paralelos.
Portanto o quadrilátero MBCQ é um paralelogramo. 
"Em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e congruentes." 
Portanto os segmentos MQ e BC são paralelos e congruentes. 
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Sobre 
os pontos médioe dos lados não paralelos
de um trapézio tem medida...?
Calcule a area do trapezio retangulo cujas
bases medem 10cm e 13cm e o lado nao
paralelo mede 5cm?
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Da congruência dos triângulos AMN e CNQ temos que os segmentos MN e
NQ são congruentes. 
portanto: MN + NQ = MQ que é congruente a BC 
mas, como vimos MN é congruente a NQ. Vamos substituir NQ por MN na
fórmula: 
portanto: MN + MN = MQ 
2MN = MQ 
MN = MQ / 2 
Portanto está provado o teorema da Base média de um triângulo. 
Vamos para o Teorema da Base média do trapézio, cujo enunciado você
mesma citou: 
Demonstração 
Seja um trapézio ABCD de bases AB e CD. 
Seja M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC 
Construamos uma reta BM. 
Prolongue com o lápis o lado DC para ficar mais fácil. 
Seja Q o ponto de interseção da reta BM com a reta que passa por DC. 
Prolongue também com o lápis o lado AD para ficar mais fácil. 
Anote as congruências de ângulos: 
ângulos QMD e AMB congruentes (ângulos opostos pelo vértice) 
ângulos MDQ e MAB congruentes (como os lados AB e CD são paralelos,
temos que a reta que passa por AD é uma transversal às bases. Portanto
seus ângulos alternos internos são congruentes). 
O segmento AM é congruente ao segmento MD, pois M é o ponto médio do
segmento AD. 
Pelo caso ALA de congruência, temos que os triângulos MQD e AMB são
congruentes. 
Disso resulta que os segmentos MQ e MB são congruentes. 
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Comentário
Agora observe o triângulo BQC. O segmento MN é a base média desse
triângulo, pois M é ponto médio do segmento BQ e N é o ponto médio do
segmento BC, ambos lados do triângulo. 
Pelo teorema da base média do triângulo, temos que: o segmento MN é
paralelo ao segmento CQ que por sua vez é paralelo ao lado AB. Podemos
concluir que MN é paralelo as duas bases do trapézio. A medida de MN é
metade da medida de CQ. 
Da congruência dos triângulos AMB e QDM, temos que os segmentos QD e
AB são congruentes. 
Em fórmula: 
MN = QC / 2 
Mas QC = QD + DC e QD é congruente a AB 
Portanto: QC = AB + DC 
MN = (AB + DC) / 2 
Está provado 
c.q.d. 
Espero que você tenha compreendido. Qualquer dúvida é só postar 
Abraço
MagmA · 6 anos atrás
 2 0
Como demonstrar que o segmento de extremos nos pontos
médios dos lados não­paralelos de um trapézio é ....?
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