As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: 8    12 ...

Para resolver esse problema, precisamos usar a propriedade da Progressão Aritmética (P.A.), que diz que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Nesse caso, temos que a razão da P.A. é dada por: r = (2x - (x + 1)) / (x + 1 - (x2 - 5)) r = (2x - x - 1) / (x + 6 - x2) r = (x - 1) / (x2 - x - 6) Como os lados estão em P.A., podemos escrever: 2x - (x + 1) = (x2 - 5) - 2x 4x = x2 - 4 x2 - 4x - 4 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x = 2 + √8 ou x = 2 - √8 Como os lados estão em P.A., precisamos escolher a solução que faça com que a razão seja um número inteiro. Nesse caso, a única solução que funciona é x = 2 + √8. Substituindo esse valor na razão, encontramos: r = (x - 1) / (x2 - x - 6) r = (√8 + 1) / (8 - 2√8 - 6) r = (√8 + 1) / 2 Agora podemos calcular os lados do triângulo: lado 1 = x + 1 = 2 + √8 + 1 = 3 + √8 lado 2 = 2x = 2(2 + √8) = 4 + 2√8 lado 3 = x2 - 5 = (2 + √8)2 - 5 = 7 + 4√8 Finalmente, podemos calcular o perímetro do triângulo: perímetro = lado 1 + lado 2 + lado 3 perímetro = (3 + √8) + (4 + 2√8) + (7 + 4√8) perímetro = 14 + 7√8 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 14 + 7√8.