UEM-PR) Sejam f e g funções reais tais que f(x - 1) = 2x + 1 e g(x + 1) = x - 3, para todo x real. Assinale o que for correto. (01) f(2) é um núme...

Podemos resolver essa questão utilizando as propriedades das funções compostas e injetoras. Começando pela alternativa (01), para encontrar f(2), precisamos substituir x por 3 na expressão f(x - 1) = 2x + 1, já que f(2) significa f(x) quando x = 2. Logo, temos: f(2 - 1) = 2(2) + 1 f(1) = 5 Portanto, a alternativa (01) é falsa, pois 5 não é um número primo. Para a alternativa (02), precisamos encontrar a solução de g(x) = -4. Substituindo na expressão dada, temos: g(x + 1) = x - 3 g(x) = (x - 3) - 1 g(x) = x - 4 Agora, podemos encontrar a solução de g(x) = -4: x - 4 = -4 x = 0 Logo, a solução de g(x) = -4 é x = 0, que é um número não positivo. Portanto, a alternativa (02) é falsa. Para a alternativa (04), precisamos verificar se f é injetora. Para isso, podemos utilizar a definição de função injetora, que diz que para todo par de valores diferentes de x, f(x) e f(y) também devem ser diferentes. Podemos reescrever a expressão de f(x - 1) como f(x) = 2(x + 1) - 1, e substituir x por a e b: f(a) = 2(a + 1) - 1 f(b) = 2(b + 1) - 1 Agora, vamos supor que f(a) = f(b) e tentar chegar a uma contradição: 2(a + 1) - 1 = 2(b + 1) - 1 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b Portanto, chegamos a uma contradição, pois assumimos que a e b eram diferentes. Logo, f é injetora e a alternativa (04) é verdadeira. Para a alternativa (08), precisamos encontrar (g o f)(x), que significa substituir a expressão de f(x) na expressão de g(x). Temos: (g o f)(x) = g(f(x)) (g o f)(x) = g(2(x - 1) + 1) (g o f)(x) = 2(x - 1) + 1 - 3 (g o f)(x) = 2x - 1 Portanto, a alternativa (08) é verdadeira. Por fim, para a alternativa (16), precisamos encontrar a e b que satisfaçam a equação g(a) + g(b) = g(a + b). Substituindo as expressões de g(x) dadas na questão, temos: (a + 1) - 3 + (b + 1) - 3 = (a + b) + 1 - 3 a + b - 4 = a + b - 2 -4 = -2 O que é uma contradição. Portanto, não existem números reais a e b que satisfaçam a equação dada, e a alternativa (16) é falsa. Assim, as alternativas corretas são (04) e (08), e a resposta é 12 (4 + 8).