Exercício 2.16. Um triângulo ABC é isósceles em A, com jABj = jACj = 1. Dê a área do triângulo em função do ângulo entre AB e AC. Em seguida, esboc...

Para encontrar a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula: Área = (base x altura) / 2 Como o triângulo é isósceles em A, a altura do triângulo é perpendicular à base BC e passa pelo ponto médio de BC. Seja D o ponto médio de BC e E o pé da altura do triângulo. Temos que: BD = CD = 1/2 AE = altura Pelo teorema de Pitágoras, temos que: AE² + BE² = AB² AE² + (BD - DE)² = 1² AE² + (1/2 - DE)² = 1 Como o triângulo é isósceles, temos que: ângulo BAC = 180° - 2x Assim, a área do triângulo em função do ângulo x é: Área(x) = (BC x AE) / 2 Área(x) = (2 x BD x AE) / 2 Área(x) = BD x AE Área(x) = (1/2) x (AE² + (1/2 - DE)²) x tan(x) Para encontrar o ângulo x que maximiza a área, podemos derivar a função Área(x) e igualá-la a zero: Área'(x) = (1/2) x [(2 x AE x tan(x)) + (AE² + (1/2 - DE)²) x sec²(x))] 0 = (1/2) x [(2 x AE x tan(x)) + (AE² + (1/2 - DE)²) x sec²(x))] 0 = AE x [tan(x) + (AE + DE - 1/2) x sec²(x)] Como AE e DE são constantes, a única solução possível é: tan(x) + (AE + DE - 1/2) x sec²(x) = 0 Podemos resolver essa equação numericamente para encontrar o valor de x que maximiza a área. Para esboçar a função Área(x), podemos plotar um gráfico com os valores da área para diferentes valores de x no intervalo [0, 90°].