6.11.1 Primitivas das funções senm x cosn x Aqui estudaremos primitivas da forma Z senm x cosn x dx : Consideremos primeiro integrais contendo some...

6.11.1 Primitivas das funções senm x cosn x
Aqui estudaremos primitivas da forma
Z senm x cosn x dx : Consideremos primeiro integrais contendo somente potências de senx, ou de cosx. Além dos casos triviais
R senx dx = −cosx + C e
R cosx dx = senx + C já encontramos, no Exemplo 6.14, Z sen2 x dx =
Z 1−cos(2x)
2 dx = x
2 − 1
4 sen(2x) + C : Consequentemente,
Z cos2 x dx =
Z f1− sen2 xg dx = x
2 + 1
4 sen(2x) + C : (6.43)
Potências ímpares podem ser tratadas da seguinte maneira:
Z cos3 x dx =
Z (cosx)2 cosx dx =
Z (1− sen2 x) cosx dx :
Chamando u:= senx, obtemos
Z cos3 x dx =
Z (1− u2) du = u− 1
3 u3 + C = senx− 1
3 sen3 x+ C :
A mesma ideia pode ser usada para integrar
R senm x cosn x dx quando pelo menos um dos expoentes, m ou n, é ímpar. Por exemplo,
Z sen2 x cos3 x dx =
Z sen2 x cos2 x cosx dx

O objetivo é estudar primitivas da forma Z senm x cosn x dx.
As primitivas de senx e cosx já foram encontradas.
A primitiva de sen2 x é dada por Z sen2 x dx = x/2 − 1/4 sen(2x) + C.
A primitiva de cos2 x é dada por Z cos2 x dx = x/2 + 1/4 sen(2x) + C.
Potências ímpares de senx ou cosx podem ser tratadas usando a substituição u = senx ou u = cosx, respectivamente.