Exercício 6.16. Calcule as primitivas das funções abaixo. (Obs: às vezes, pode precisar integrar por partes duas vezes.) 1. x senx 2. x cos(5x) 3....

1. Para calcular a primitiva de x senx, podemos usar a integração por partes. Assim, temos: ∫x senx dx = x (-cosx) - ∫(-cosx) dx ∫x senx dx = -x cosx + senx + C 2. Para calcular a primitiva de x cos(5x), podemos usar a integração por partes duas vezes. Assim, temos: ∫x cos(5x) dx = x (1/5 sen(5x)) - ∫(1/5 sen(5x)) dx ∫x cos(5x) dx = (x/5) sen(5x) - (1/25) cos(5x) + C 3. Para calcular a primitiva de x² cosx, podemos usar a integração por partes duas vezes. Assim, temos: ∫x² cosx dx = x² senx - ∫2x senx dx ∫x² cosx dx = x² senx - 2x cosx + 2 ∫cosx dx ∫x² cosx dx = x² senx - 2x cosx + 2 senx + C 4. Para calcular a primitiva de xe^x, podemos usar a integração por partes. Assim, temos: ∫xe^x dx = x e^x - ∫e^x dx ∫xe^x dx = x e^x - e^x + C 5. Para calcular a primitiva de x²e^-3x, podemos usar a integração por partes duas vezes. Assim, temos: ∫x²e^-3x dx = - (1/3) x² e^-3x - ∫(-2/3) x e^-3x dx ∫x²e^-3x dx = - (1/3) x² e^-3x + (2/9) x e^-3x - (4/27) e^-3x + C 6. Para calcular a primitiva de x³ cos(x²), podemos usar a substituição trigonométrica. Assim, fazemos u = x² e du/dx = 2x, e temos: ∫x³ cos(x²) dx = (1/2) ∫u^(3/2) cosu du ∫x³ cos(x²) dx = (1/2) (u^(3/2) sen u / (3/2)) - (1/2) ∫(3/2) u^(1/2) sen u du ∫x³ cos(x²) dx = (1/3) x³ sen(x²) - (1/2) ∫(3/2) x sen(x²) dx Podemos usar a integração por partes para calcular a última integral, e assim obter a primitiva de x³ cos(x²).