Encontre o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial y′ − y = 1 + 3 sin t, y(0) = y0 se mantenha finita quando t→∞.

Para resolver o problema de valor inicial \( y' - y = 1 + 3 \sin t \) com \( y(0) = y_0 \), precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial. 1. Encontrar a solução homogênea: A equação homogênea associada é \( y' - y = 0 \). A solução é da forma: \[ y_h(t) = Ce^t \] onde \( C \) é uma constante. 2. Encontrar a solução particular: Para a solução particular, podemos usar o método de coeficientes indeterminados. Vamos tentar uma solução da forma: \[ y_p(t) = A + B \sin t + C \cos t \] Derivando, temos: \[ y_p' = B \cos t - C \sin t \] Substituindo \( y_p \) e \( y_p' \) na equação original: \[ (B \cos t - C \sin t) - (A + B \sin t + C \cos t) = 1 + 3 \sin t \] Agrupando os termos: \[ (-C + B) \cos t + (-A - B - C) \sin t - A = 1 + 3 \sin t \] Igualando os coeficientes, obtemos: - Para \( \cos t \): \( -C + B = 0 \) - Para \( \sin t \): \( -A - B - C = 3 \) - Para a parte constante: \( -A = 1 \) Da última equação, temos \( A = -1 \). Substituindo em \( -C + B = 0 \), obtemos \( C = B \). Agora, substituindo \( A \) na segunda equação: \[ -(-1) - B - C = 3 \implies 1 - B - B = 3 \implies -2B = 2 \implies B = -1 \] Portanto, \( C = -1 \) também. Assim, a solução particular é: \[ y_p(t) = -1 - \sin t - \cos t \] 3. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é: \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^t - 1 - \sin t - \cos t \] 4. Condições para que a solução permaneça finita quando \( t \to \infty \): Para que \( y(t) \) permaneça finita quando \( t \to \infty \), a parte homogênea \( Ce^t \) deve ser zero, ou seja, \( C = 0 \). 5. Condição inicial: Com \( C = 0 \), temos: \[ y(0) = 0 - 1 - \sin(0) - \cos(0) = -1 - 0 - 1 = -2 \] Portanto, \( y_0 = -2 \). Resposta final: O valor de \( y_0 \) para que a solução se mantenha finita quando \( t \to \infty \) é \( y_0 = -2 \).