Considere o problema de valor inicial y′ = ty/(4− y)(1 + t), y(0) = y0 > 0. Determine como se comporta a solução quando t→∞; Se y0 = 2 encontre o p...

Para determinar o comportamento da solução quando t → ∞, podemos usar o método de separação de variáveis e obter a solução analítica da equação diferencial. Temos: dy/dt = ty/(4 - y)(1 + t) dy/y(4 - y) = t/(1 + t) dt Integrando ambos os lados, temos: ln|y| - ln|4 - y| = 1/2 ln(1 + t^2) + C onde C é a constante de integração. Aplicando as condições iniciais y(0) = y0 > 0, temos: ln|y0| - ln|4 - y0| = C Substituindo C na equação anterior, temos: ln|y| - ln|4 - y| = 1/2 ln(1 + t^2) + ln|y0| - ln|4 - y0| ln|y(4 - y)/(y0(4 - y0))| = ln[(1 + t^2)^1/2 y0/(4 - y0)] y(4 - y)/(y0(4 - y0)) = (1 + t^2)^1/2 y0/(4 - y0) y(4 - y) = y0(4 - y0)(1 + t^2)^1/2 y^2 - 4y + y0(4 - y0)(1 + t^2)^1/2 = 0 A solução da equação acima é dada por: y(t) = 2 + (y0 - 2) exp(-2 ln(1 + t)) Quando t → ∞, o termo exp(-2 ln(1 + t)) tende a zero, e a solução se aproxima de y = 2. Para encontrar o primeiro T para o qual a solução vale 3,99, podemos substituir y0 = 2 e y = 3,99 na equação acima e resolver para t: 3,99 = 2 + (2 - 2) exp(-2 ln(1 + t)) 1,99 = exp(-2 ln(1 + t)) ln(1 + t) = -1/2 ln(1,99) 1 + t = e^(-1/2 ln(1,99)) t = e^(-1/2 ln(1,99)) - 1 t ≈ 0,0104 Portanto, o primeiro T para o qual a solução vale 3,99 é aproximadamente 0,0104. Para encontrar o intervalo de valores iniciais para o qual 3,99 < y(2) < 4,01, podemos substituir y0 = y(2) na equação da solução e resolver para y(2): y(2) = 2 + (y0 - 2) exp(-2 ln 3) 3,99 < y(2) < 4,01 2 + (y0 - 2) exp(-2 ln 3) > 3,99 2 + (y0 - 2) exp(-2 ln 3) < 4,01 Resolvendo as desigualdades acima, obtemos: 1,002 < y0 < 1,004 Portanto, o intervalo de valores iniciais para o qual 3,99 < y(2) < 4,01 é aproximadamente (1,002, 1,004).