15. (Unicamp 2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio ...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar as fórmulas da área total do cilindro e da esfera. A área total do cilindro é dada por: ATc = 2πR² + 2πRh Já a área total da esfera é dada por: ATe = 4πR² Sabemos que as áreas totais do cilindro e da esfera são iguais, então podemos igualar as duas fórmulas: 2πR² + 2πRh = 4πR² Simplificando a equação: 2Rh = 2πR² h = πR A altura do cilindro é igual a πR. Agora, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio da esfera: R² + R² = (2R)² 2R² = 4R² - 4R²/3 2R² = 8R²/3 R² = 4R²/3 R = 2R/√3 R = 2R√3/3 A área total da esfera é dada por: ATe = 4πR² ATe = 4π(4R²/3) ATe = 16πR²/3 Agora, podemos igualar as áreas totais do cilindro e da esfera: 2πR² + 2πRh = 16πR²/3 Substituindo h por πR: 2πR² + 2πR(πR) = 16πR²/3 2πR² + 2π²R² = 16πR²/3 6πR² + 4π²R² = 16πR² 6π + 4π² = 16 π(6 + 4π) = 16 π = 16/(6 + 4π) π = 16/(6 + 4*3,14) π = 16/19,56 π = 0,817 Agora, podemos encontrar o raio da esfera: R = 2R√3/3 R = 2R*1,732/3 R = 1,155R Substituindo R na alternativa: a) 2R. a) 2(1,155R) = 2,31R Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2,31R.