38. (Udesc 2012) Considere as matrizes da forma a b A c d com a, b, c, d  {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se os elementos destas matrizes não são múltiplos...

Para resolver essa questão, precisamos calcular quantas possibilidades existem para cada elemento da matriz. Como cada elemento pode ser um dos seis números dados, temos 6 opções para cada um dos 5 elementos da matriz. Portanto, o número total de matrizes distintas que podem ser formadas é 6^5 = 7776. No entanto, nem todas essas matrizes satisfazem a condição de que seus elementos não são múltiplos. Para que dois números sejam não múltiplos, eles devem ter um máximo divisor comum igual a 1. Podemos usar o princípio da contagem para contar quantas matrizes têm elementos com um máximo divisor comum diferente de 1. Primeiro, contamos quantas matrizes têm um máximo divisor comum igual a 2. Para que isso aconteça, os elementos a, b, c e d devem ser pares. Existem 3 opções para cada um desses elementos (2, 4 e 6), então o número de matrizes com um máximo divisor comum igual a 2 é 3^4 = 81. Da mesma forma, podemos contar quantas matrizes têm um máximo divisor comum igual a 3, 4, 5 ou 6. Para que o máximo divisor comum seja 3, os elementos a, b, c e d devem ser ímpares, mas não podem ser todos iguais a 3. Existem 3 opções para cada um desses elementos (3, 5 e 7), então o número de matrizes com um máximo divisor comum igual a 3 é 3^4 - 1 = 80 (subtraindo 1 para excluir o caso em que todos os elementos são iguais a 3). Para que o máximo divisor comum seja 4, os elementos a e d devem ser pares, e os elementos b e c devem ser ímpares. Existem 3 opções para cada um desses elementos, então o número de matrizes com um máximo divisor comum igual a 4 é 3^2 * 3^2 = 81. Para que o máximo divisor comum seja 5, um dos elementos a, b, c ou d deve ser igual a 5, e os outros elementos devem ser escolhidos entre os números restantes. Existem 3 opções para cada um desses elementos, então o número de matrizes com um máximo divisor comum igual a 5 é 4 * 3^3 = 108. Finalmente, para que o máximo divisor comum seja 6, todos os elementos devem ser pares. Existem 3 opções para cada um desses elementos, então o número de matrizes com um máximo divisor comum igual a 6 é 3^5 = 243. Portanto, o número máximo de matrizes distintas que podem ser formadas é 7776 - 81 - 80 - 81 - 108 - 243 = 7183. A alternativa correta é a letra E) 360.