Uma prova de concurso é formada por questões de múltipla escolha, com 4 alternativas por questão. Admita que nenhum candidato deixe questões s...

(a) Para garantir que pelo menos 3 candidatos darão exatamente as mesmas respostas nas 5 primeiras questões, precisamos calcular quantas respostas diferentes são possíveis para essas 5 questões. Como cada questão tem 4 alternativas, temos 4^5 = 1024 possibilidades diferentes de respostas. Portanto, se tivermos 1024 + 1 candidatos, pelo menos 3 deles terão que dar exatamente as mesmas respostas nas 5 primeiras questões. (b) Para garantir que pelo menos 2 candidatos darão as mesmas respostas nas primeiras n questões, precisamos calcular quantas respostas diferentes são possíveis para essas n questões. Como cada questão tem 4 alternativas, temos 4^n possibilidades diferentes de respostas. Então, precisamos encontrar o menor valor de n para o qual 4^n > 1000. Fazendo alguns cálculos, encontramos que n = 5. Portanto, em um concurso com 1000 candidatos, é possível garantir que pelo menos 2 deles darão as mesmas respostas nas primeiras 5 questões.