No cubo ABCDA′B′C ′D′ de aresta a, os pontos M , N , P e Q são médios das arestas A′B′, B′C ′, C ′D′ e A′D′, respectivamente. Foram feitas as sec...

a) Para calcular o volume do poliedro P, precisamos calcular o volume dos quatro tetraedros formados pelas seções AMQ, BNM, CPN e DPQ. Cada um desses tetraedros tem volume igual a um sexto do volume do cubo ABCDA′B′C′D′, que é a³. Portanto, o volume do poliedro P é igual a 2a³. b) Para calcular a área da seção média, precisamos encontrar a área da seção formada pelo plano médio do poliedro P. Essa seção é um hexágono regular, cuja área pode ser calculada pela fórmula A = 3√3a²/2. Para calcular a altura do prismatoide, podemos usar o fato de que a seção média é um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R, onde R é a distância entre as bases do prismatoide. Temos que R = a/2, pois o hexágono é inscrito em um círculo de diâmetro igual à aresta do cubo. A altura do prismatoide é igual à distância entre os planos das bases, que é igual a a/2, pois as bases são paralelas e a distância entre elas é igual à altura do cubo. Assim, temos que h = a/2 e S = 3√3a²/2. Para calcular a área lateral Sm, podemos usar o fato de que cada face lateral é um triângulo equilátero com lado igual a a/2. Portanto, Sm = 6(√3/4)(a/2)² = 3a²/4. Substituindo esses valores na fórmula do volume do prismatoide, temos que V = (a/4)(3√3a²/2 + 3a²/2 + 4(3a²/4)) = (3√3 + 4)a³/8.