No cubo ABCDA′B′C ′D′ de aresta a, os pontos M , N , P e Q são médios das arestas A′B′, B′C ′, C ′D′ e A′D′, respectivamente. Foram feitas as sec...

a) Para calcular o volume do poliedro P, precisamos calcular o volume dos quatro tetraedros formados pelas seções AMQ, BNM, CPN e DPQ. Cada um desses tetraedros tem volume igual a um sexto do volume do cubo, ou seja, Vtetraedro = a³/6. Como há quatro tetraedros, o volume total do poliedro P é V = 2a³. b) Para calcular a área da seção média, precisamos encontrar a área da seção formada pelo plano médio do poliedro P. Essa seção é um hexágono regular, cuja área pode ser calculada pela fórmula A = 3√3a²/2. Para calcular o volume do poliedro P usando a fórmula do volume dos prismatóides, precisamos calcular a altura h, a área da base maior S, a área da base menor s e a área média Sm. A altura h é igual à aresta do cubo, ou seja, h = a. A área da base maior S é igual à área do hexágono regular, ou seja, S = 3√3a²/2. A área da base menor s é igual à área do quadrado formado pela interseção dos planos AMQ e CPN, ou seja, s = a²/2. A área média Sm é igual à área do triângulo formado pela interseção dos planos AMQ e BNM, ou seja, Sm = a²√2/4. Substituindo os valores na fórmula V = h6(S+s+4Sm), temos: V = a6(3√3a²/2 + a²/2 + 4a²√2/4) V = a³(3√3/2 + 1/2 + 2√2) V = a³(2 + 3√3 + 2√2)/2 Portanto, o volume do poliedro P é a³(2 + 3√3 + 2√2)/2 e a área da seção média é 3√3a²/2.