(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) este...

(a) Para provar que tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)), vamos usar as fórmulas para cos(x+y) e sen(x+y): cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y) sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) tg(x-y) = sen(x-y) / cos(x-y) tg(x-y) = (sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)) / (cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)) tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)) Portanto, a fórmula tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)) é verdadeira. (b) Para encontrar o ângulo máximo, precisamos encontrar a tangente máxima. Sabemos que a tangente é máxima quando o ângulo é máximo, então podemos usar a fórmula acima para encontrar a tangente máxima. Seja θ o ângulo entre a linha de fundo e a linha que liga o jogador ao poste mais próximo. Então, temos: tg(θ) = b / x tg(90-θ) = a / (d-x) Onde d é a largura do campo. Podemos reescrever a segunda equação como: tg(θ) = a / (d-x) Agora, podemos usar a fórmula tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)) para encontrar a tangente do ângulo entre as linhas de fundo e a linha que liga o jogador aos postes: tg(θ - (90-θ)) = tg(2θ-90) = (tg(θ) - tg(90-θ)) / (1 + tg(θ) * tg(90-θ)) tg(2θ-90) = (b/x - a/(d-x)) / (1 + (b/x) * (a/(d-x))) tg(2θ-90) = (bd - ax) / (xd - ax + ab) Para encontrar a tangente máxima, precisamos encontrar o valor de x que maximiza tg(2θ-90). Podemos fazer isso encontrando o valor de x que torna o denominador mínimo. Derivando o denominador em relação a x, temos: d/dx (xd - ax + ab) = d - a Igualando a zero, temos: d - a = 0 d = a Substituindo em tg(2θ-90), temos: tg(2θ-90) = (bd - ax) / ab tg(2θ-90) = (b/a) * (d/x) - 1 Para maximizar tg(2θ-90), precisamos maximizar (d/x). Como d = a, temos: (d/x)^2 = (a/x)^2 + b^2 (d/x)^2 = a^2/x^2 + b^2 (d/x)^2 - b^2 = a^2/x^2 x^2 = a^2(d/x)^2 / (d/x)^2 - b^2 x^2 = a^2b^2 / (d^2 - b^2) x = sqrt(ab) Portanto, o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.