Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R.
(a) Encontre x0 tal que a sequência seja...

Question

Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R.
(a) Encontre x0 tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(b) Resolva a recorrência com a substituição xn = yn + a, em que a é valor encontrado em (a).
(c) Para que valores de x0 a sequência é crescente? Justifique.
(a) Encontre x0 tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(b) Resolva a recorrência com a substituição xn = yn + a, em que a é valor encontrado em (a).
(c) Para que valores de x0 a sequência é crescente? Justifique.

Ed · Answer

(a) Para que a sequência seja constante, precisamos ter xn+1 = xn, ou seja, 2xn + 1 = xn. Resolvendo para xn, temos xn = -1. Portanto, x0 = -1.

(b) Substituindo xn = yn + a na relação de recorrência, temos yn+1 + a = 2(yn + a) + 1, o que simplifica para yn+1 = 2yn + 2a + 1. Podemos reescrever isso como yn+1 = 2(yn + a) + 1, ou seja, a sequência yn+1 = 2yn + 1 é uma progressão aritmética com primeiro termo y0 + a e razão 2. Portanto, temos yn = (y0 + a) * 2^n - a para todo n >= 0. Substituindo y0 = x0 - a = -1 - a, temos yn = -a * 2^n - 1 para todo n >= 0.

(c) Para que a sequência seja crescente, precisamos ter xn+1 > xn. Substituindo a relação de recorrência, temos 2xn + 1 > xn, ou seja, xn > -1. Portanto, a sequência é crescente para todo x0 > -1.

Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R. (a) Encontre x0 tal que a sequência seja...

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