Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R.
(0.5) (a) Encontre x0 tal que a sequênci...

Question

Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R.
(0.5) (a) Encontre x0 tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(1.0) (b) Resolva a recorrência com a substituição xn = yn + a, em que a é valor encontrado em (a).
(0.5) (c) Para que valores de x0 a sequência é crescente? Justifique.

(a) Encontre x0 tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(b) Resolva a recorrência com a substituição xn = yn + a, em que a é valor encontrado em (a).
(c) Para que valores de x0 a sequência é crescente? Justifique.

Ed · Answer

(a) Para que a sequência seja constante, temos que ter xn+1 = xn, ou seja, 2xn + 1 = xn. Resolvendo para xn, temos xn = -1. Portanto, x0 = -1.

(b) Substituindo xn = yn + a na relação de recorrência, temos yn+1 + a = 2(yn + a) + 1, ou seja, yn+1 = 2yn + (2a + 1). Essa é uma relação de recorrência linear homogênea de primeira ordem, cuja solução geral é dada por yn = c * 2^n - (2a + 1)/2, em que c é uma constante determinada pelas condições iniciais. Como x0 = -1, temos que y0 + a = -1, ou seja, y0 = -1 - a. Substituindo na solução geral, temos xn = c * 2^n - (2a + 1)/2 + a - 1. Usando a condição inicial xn = x0 = -1, temos -1 = c * 2^0 - (2a + 1)/2 + a - 1, ou seja, c = (2a + 1)/2. Portanto, a solução da relação de recorrência é dada por xn = [(2a + 1)/2] * 2^n + a - 1.

(c) Para que a sequência seja crescente, temos que ter xn+1 > xn, ou seja, 2xn + 1 > xn. Resolvendo para xn, temos xn > -1/2. Portanto, a sequência é crescente para x0 > -1/2.

Seja (xn)n≥0 sequência definida pela relação de recorrência xn+1 = 2xn + 1, com termo inicial x0 ∈ R. (0.5) (a) Encontre x0 tal que a sequênci...

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