A figura abaixo mostra uma linha poligonal que parte da origem e passa uma vez por cada ponto do plano cujas coordenadas são números inteiros e não...

(a) O conjunto dos pares de números inteiros e não negativos tem a mesma cardinalidade que os números naturais, pois é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre eles. Uma possível forma de fazer isso é numerar cada ponto da linha poligonal em ordem crescente de distância da origem e associar a cada número natural o par de coordenadas do ponto correspondente. (b) Para chegar ao ponto (n, n), a linha poligonal deve percorrer n unidades na direção horizontal e n unidades na direção vertical. Como cada unidade tem comprimento 1, o comprimento total da linha poligonal é dado por n + n = 2n. No entanto, a linha poligonal passa por n + 1 pontos na direção horizontal e n + 1 pontos na direção vertical, incluindo a origem. Portanto, o comprimento total da linha poligonal é igual a n + (n + 1) + n + 1 = 2n + 2. (c) Para chegar ao ponto (10, 13), a linha poligonal deve percorrer 10 unidades na direção horizontal e 13 unidades na direção vertical. Usando a fórmula do item (b), o comprimento total da linha poligonal é dado por 10² + 10 + 13² + 13 = 269.