Em um triângulo ABC, as medidas dos lados AB, AC e BC são, respectivamente, 40cm, 20cm e 30cm. A bissetriz interna desse triângulo, relativa ao vér...

Para encontrar a medida do segmento PS, podemos utilizar o Teorema da Bissetriz Interna e Externa. Primeiro, vamos encontrar a medida do lado AC do triângulo ACP. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: AC² = AP² + PC² 20² = AP² + PC² 400 = AP² + PC² Agora, vamos encontrar a medida do lado AB do triângulo ABS. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: AB² = AP² + PB² 40² = AP² + PB² 1600 = AP² + PB² Como a bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes, temos: PC/BC = AP/AB PC/30 = AP/40 PC = 3AP/4 Substituindo PC em função de AP na equação 400 = AP² + PC², temos: 400 = AP² + (3AP/4)² 400 = AP² + 9AP²/16 AP² = 6400/25 AP = 16/5 * sqrt(10) Agora, vamos encontrar a medida do segmento PS. Como a bissetriz externa de um triângulo divide o ângulo oposto em dois ângulos congruentes, temos que os ângulos ACP e ACS são congruentes. Portanto, os triângulos ACP e ACS são semelhantes. Assim, temos: PS/SC = AP/AC PS/(30 + PS) = (16/5 * sqrt(10))/20 PS = 24/5 * sqrt(10) Portanto, a medida do segmento PS é de aproximadamente 11,31 cm, que corresponde à alternativa (a) 15.