669. O ponto M é o ponto de intersecção das diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD. Sabendo que A(0, 0), B(3, 0), C(4, 2) e D(0, 5) as coorden...

Para encontrar as coordenadas do ponto M, podemos utilizar a fórmula do ponto médio, que diz que o ponto médio de um segmento de reta é dado pela média aritmética das coordenadas dos seus extremos. Assim, podemos encontrar o ponto médio dos segmentos AC e BD e, em seguida, encontrar o ponto de intersecção desses dois segmentos, que será o ponto M. Para encontrar o ponto médio do segmento AC, podemos utilizar a fórmula: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) Substituindo pelos valores de A e C, temos: ((0 + 4)/2, (0 + 2)/2) = (2, 1) Para encontrar o ponto médio do segmento BD, podemos utilizar a mesma fórmula: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) Substituindo pelos valores de B e D, temos: ((3 + 0)/2, (0 + 5)/2) = (1.5, 2.5) Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e C e a equação da reta que passa pelos pontos B e D. Em seguida, encontraremos o ponto de intersecção dessas duas retas, que será o ponto M. A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por: (y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) Substituindo pelos valores de A e C, temos: (y - 0)/(x - 0) = (2 - 0)/(4 - 0) Simplificando, temos: y = (1/2)x + 0 A equação da reta que passa pelos pontos B e D é dada por: (y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) Substituindo pelos valores de B e D, temos: (y - 0)/(x - 3) = (5 - 0)/(0 - 3) Simplificando, temos: y = (-5/3)x + 5 Agora, precisamos encontrar o ponto de intersecção dessas duas retas. Para isso, podemos igualar as duas equações: (1/2)x = (-5/3)x + 5 Multiplicando ambos os lados por 6, temos: 3x = -10x + 30 Somando 10x em ambos os lados, temos: 13x = 30 Dividindo ambos os lados por 13, temos: x = 30/13 Substituindo esse valor na equação da reta que passa pelos pontos A e C, temos: y = (1/2)(30/13) + 0 Simplificando, temos: y = 15/13 Portanto, as coordenadas do ponto M são (30/13, 15/13). Resposta: letra E) (1, 1)