Vamos analisar cada uma das afirmações: 01) q(0) = 4. Como p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), temos que p(0) = q(0)(0 – 2)(0 + 2) = 16. Logo, q(0) = 1 e a afirmação está incorreta. 02) q(x) é um polinômio de grau 2. Como p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), temos que q(x) é um polinômio de grau 2, pois p(x) é de grau 4 e (x – 2)(x + 2) é de grau 2. Logo, a afirmação está correta. 04) p(2) = p(–2). Como p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), temos que p(2) = q(2)(2 – 2)(2 + 2) = 0 e p(–2) = q(–2)(–2 – 2)(–2 + 2) = 0. Logo, a afirmação está correta. 08) a soma das raízes de p(x) = 0 é 2i, onde i é a unidade imaginária. Como p(x) é um polinômio com coeficientes reais, as raízes complexas aparecem em pares conjugados. Logo, se 2i é uma das raízes, então –2i também é raiz. A soma dessas raízes é 0, e a afirmação está incorreta. 16) b2 + 8a – c = 0. Como p(x) = –x4 + ax3 + bx2 – 8x + c, temos que p(0) = c = 16. Além disso, p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), e as raízes de p(x) são 2, –2 e outras duas raízes complexas. Como o coeficiente do termo de maior grau em q(x) é 1, temos que q(x) = x2 + dx + e. Expandindo p(x) nessa forma, temos: –x4 + ax3 + bx2 – 8x + 16 = (x – 2)(x + 2)(x2 + dx + e) –x4 + ax3 + bx2 – 8x + 16 = x(x2 + dx + e) – 4(x2 + dx + e) –x4 + ax3 + bx2 – 8x + 16 = x3 + (d – 4)x2 + (e – 4d)x – 16e Igualando os coeficientes de x3, x2 e x, temos: a = d – 4 b = e – 4d –8 = –16e Logo, e = 1, d = b/4 e a = b/4 – 4. Substituindo esses valores na equação b2 + 8a – c = 0, temos: b2 + 8a – c = b2 + 2b – 48 = 0 b2 + 2b – 48 = 0 (b + 8)(b – 6) = 0 Logo, b = –8 ou b = 6. Portanto, a afirmação está incorreta. 32) x = 2 é uma raiz de multiplicidade 2 de p(x) = 0. Como p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), temos que x = 2 é uma raiz de p(x) com multiplicidade 2 se e somente se (x – 2)2 divide q(x). Como q(x) é um polinômio de grau 2, temos que q(x) = k(x – r)(x – s), onde k, r e s são constantes reais e r ≠ s. Portanto, (x – 2)2 divide q(x) se e somente se r = 2 ou s = 2. Logo, x = 2 é uma raiz de multiplicidade 2 de p(x) se e somente se q(2) = 0 ou q(–2) = 0. Como p(2) = 0, temos que q(2)(2 – 2)(2 + 2) = 0, ou seja, q(2) = 0. Portanto, a afirmação está correta. 64) p(x) tem dois zeros complexos. Como p(x) = q(x)(x – 2)(x + 2), temos que as raízes de p(x) são as raízes de q(x) e as raízes –2 e 2. Como q(x) é um polinômio de grau 2, temos que q(x) tem no máximo duas raízes reais. Portanto, se p(x) tem duas raízes complexas, então q(x) não tem raízes reais. Mas isso implicaria que o gráfico de q(x) é sempre positivo ou sempre negativo, o que é impossível, pois q(x) é um polinômio de grau 2. Portanto, a afirmação está incorreta. Respostas corretas: 02, 04 e 32.