Considere a matriz A= (1 0; 6 -1). a. Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine uma matriz diagonal D correspondente. b. Determine uma m...

Correto, a matriz A é diagonalizável. Para encontrar a matriz diagonal D correspondente, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A. Começamos encontrando os autovalores: det(A - λI) = 0 |1-λ 0| |1-λ 0| |6 -1-λ| = |6 -1-λ| (1-λ)(-1-λ) - 0*6 = 0 λ² - 1 = 0 λ = 1 ou λ = -1 Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor: Para λ = 1: (A - λI)v = 0 |1-1 0| |0| |0| |6 -1-1| * |v| = |0| Simplificando, temos: |0 0| |0| |0| |6 -2| * |v| = |0| Da segunda equação, temos: 6v1 - 2v2 = 0 3v1 - v2 = 0 v2 = 3v1 Assim, podemos escolher v1 = 1 e obter v2 = 3. Portanto, o autovetor correspondente a λ = 1 é [1, 3]. Para λ = -1: (A - λI)v = 0 |1+1 0| |0| |0| |6 -1+1| * |v| = |0| Simplificando, temos: |2 0| |0| |0| |6 0| * |v| = |0| Da segunda equação, temos: 6v1 = 0 v1 = 0 Assim, podemos escolher v2 = 1. Portanto, o autovetor correspondente a λ = -1 é [0, 1]. Agora, podemos montar a matriz P com os autovetores encontrados: P = [1 0; 3 1] E a matriz diagonal D correspondente é: D = [1 0; 0 -1] Verificamos que D = P^-1AP: P^-1 = [-1 0; 3 1] P^-1AP = [-1 0; 3 1] * [1 0; 6 -1] * [1 0; 3 1]^-1 = [1 0; 0 -1] = D.