Pré-requisito Aula 5. Vamos começar lembrando alguns conceitos do curso de Álgebra Linear I. Uma transformação linear de Rn em R m é uma func...

Pré-requisito
Aula 5. Vamos começar lembrando alguns conceitos do curso de Álgebra Linear I. Uma transformação linear de Rn em R
m é uma
função
T : Rn→R
m que satisfaz
T (c1v1 + c2v2) = c1T (v1)+ c2T (v2)
para todo v1, v2 ∈ Rn e todo c1, c2 ∈ R.

Chamamos operador linear uma transformação linear de Rn
em R
n, T : Rn → R
n. Observe que, neste caso, tanto o domı́nio
quanto o contra-domı́mio têm a mesma dimensão n. Lembre
que, fixando a base canônica de Rn, o operador linear T : Rn→
R
n fica representado pela matriz A = (ai j) ∈ Mn(R), chamada
matriz canônica, através de multiplicação de matrizes da se-
guinte forma:

v �→ Av,
⎛
⎜⎜⎜⎝
v1
v2
...
vn

⎞
⎟⎟⎟⎠ �→

⎛
⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n

...
... . . . ...

an1 an2 · · · ann

⎞
⎟⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎜⎝
v1
v2
...
vn

⎞
⎟⎟⎟⎠ ,

onde

⎛
⎜⎜⎜⎝
v1
v2
...
vn

⎞
⎟⎟⎟⎠ é o vetor v = (v1, v2, . . . , vn) descrito na base
canônica. Denotando esta base por {e1,e2, . . . ,en}, então as co-
lunas da matriz A são as componentes dos vetores T (e1),T (e2), . . . ,T (en)
na base canônica:

A= [ T (e1) T (e2) . . . T (en) ].

Lembre que a base
canônica de Rn é
composta pelos
vetores
e1,e2, . . . ,en onde
cada ek =
(0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)
tem como única
componente
não-nula a k-ésima
componente com
valor 1.
Com base na definição de operador linear, o que é uma transformação linear?
O que é um operador linear?
Como um operador linear é representado por uma matriz?
O que é a base canônica de Rn?
O que são as colunas da matriz canônica de um operador linear?
Uma transformação linear é uma função que satisfaz T (c1v1 + c2v2) = c1T (v1)+ c2T (v2) para todo v1, v2 ∈ Rn e todo c1, c2 ∈ R.
Um operador linear é uma transformação linear de Rn em Rn.
Um operador linear é representado por uma matriz A = (ai j) ∈ Mn(R), chamada matriz canônica, através de multiplicação de matrizes da seguinte forma: v → Av.
A base canônica de Rn é composta pelos vetores e1,e2, . . . ,en onde cada ek = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) tem como única componente não-nula a k-ésima componente com valor 1.
As colunas da matriz canônica de um operador linear são as componentes dos vetores T (e1),T (e2), . . . ,T (en) na base canônica.
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