Seja T : V −→W uma transformação linear e B = {v1, . . . , vn} uma base de V . (a) [2,0 pontos] Mostre que, se T é bijetiva, então B′ = {T (v1)...

(a) Para mostrar que B' é uma base de W, precisamos mostrar que B' é linearmente independente e que gera W. - Linearmente independente: Suponha que existam escalares c1, c2, ..., cn tais que c1T(v1) + c2T(v2) + ... + cnT(vn) = 0. Como T é uma transformação linear, temos que T(c1v1 + c2v2 + ... + cnvn) = 0. Como T é bijetiva, temos que c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0. Como B é uma base de V, temos que c1 = c2 = ... = cn = 0. Portanto, B' é linearmente independente. - Gera W: Seja w um elemento qualquer de W. Como T é sobrejetiva, existe um elemento v em V tal que T(v) = w. Como B é uma base de V, podemos escrever v como uma combinação linear de seus elementos: v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Então, temos que w = T(v) = a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn). Portanto, B' gera W. Assim, concluímos que B' é uma base de W. (b) Para mostrar que T é bijetiva, precisamos mostrar que T é injetiva e sobrejetiva. - Injetiva: Suponha que existam dois elementos v, u em V tais que T(v) = T(u). Então, temos que T(v) - T(u) = T(v - u) = 0. Como B é uma base de V, temos que v - u = 0, ou seja, v = u. Portanto, T é injetiva. - Sobrejetiva: Seja w um elemento qualquer de W. Como B' é uma base de W, podemos escrever w como uma combinação linear de seus elementos: w = a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn). Como T é uma transformação linear, temos que T(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = w. Portanto, T é sobrejetiva. Assim, concluímos que T é bijetiva.