Determine todos os autovalores e autovetores do operador linear T: R2 → R2 dado por T(x,y) = (6x - y, 3x + 2y). Determine se o operador T é diagona...

Para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear T, precisamos resolver a equação característica det(T-λI) = 0, onde I é a matriz identidade 2x2 e λ é o autovalor. det(T-λI) = det([6-λ, -1], [3, 2-λ]) = (6-λ)(2-λ) + 3 = λ² - 8λ + 15 = (λ-3)(λ-5) Portanto, os autovalores são λ1 = 3 e λ2 = 5. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (T-λI)v = 0, onde v é o autovetor. Para λ1 = 3, temos: (T-3I)v = 0 [3, -1] [x] [0] [3, -1] [y] = [0] Resolvendo o sistema, obtemos v1 = (1,3). Para λ2 = 5, temos: (T-5I)v = 0 [1, -1] [x] [0] [3, -3] [y] = [0] Resolvendo o sistema, obtemos v2 = (1,1). Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, o operador T é diagonalizável. Para encontrar a matriz diagonal D que representa T, basta colocar os autovalores na diagonal: D = [3, 0] [0, 5] Para calcular a matriz A que representa o operador T com respeito à base canônica de R2, basta aplicar o operador T nos vetores da base: A = [T(1,0), T(0,1)] [T(0,1), T(0,1)] A = [6, -1] [3, 2] Para encontrar os autovalores de A, basta resolver a equação característica det(A-λI) = 0: det(A-λI) = det([6-λ, -1], [3, 2-λ]) = (6-λ)(2-λ) + 3 = λ² - 8λ + 15 = (λ-3)(λ-5) Os autovalores de A são os mesmos de T: λ1 = 3 e λ2 = 5. Para cada autovalor de A, encontramos uma base para o autoespaço correspondente resolvendo o sistema (A-λI)v = 0: Para λ1 = 3, temos: (A-3I)v = 0 [3, -1] [x] [0] [3, -1] [y] = [0] Resolvendo o sistema, obtemos v1 = (1,3). Para λ2 = 5, temos: (A-5I)v = 0 [1, -1] [x] [0] [3, -3] [y] = [0] Resolvendo o sistema, obtemos v2 = (1,1). Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, é possível encontrar uma base de autovetores para T. Portanto, o operador T é diagonalizável e sua representação diagonal é D = [3, 0; 0, 5].