Determine todos os autovalores e autovetores do operador linear T: R2 → R2 dado por T(x,y) = (6x - y, 3x + 2y). Determine se o operador T é diagona...

Para determinar os autovalores e autovetores do operador linear T: R2 → R2, dado por T(x,y) = (6x - y, 3x + 2y), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a matriz A que representa o operador T com respeito à base canônica de R2: A = [6 -1; 3 2] 2. Calcular os autovalores de T a partir do polinômio característico de A: O polinômio característico de A é dado por: p(λ) = det(A - λI) = det([6 -1; 3 2] - λ[1 0; 0 1]) p(λ) = det([6-λ -1; 3 2-λ]) p(λ) = (6-λ)(2-λ) + 3 p(λ) = λ² - 8λ + 15 As raízes desse polinômio são λ1 = 3 e λ2 = 5. 3. Calcular os autovetores associados a cada autovalor de T: Para λ1 = 3, temos: (A - λ1I)v1 = 0 [6-3 -1; 3 2-3][x; y] = [0; 0] [3 -1; 3 -1][x; y] = [0; 0] 3x - y = 0 3x - y = 0 x = y Assim, o autovetor associado a λ1 é dado por v1 = [1; 1]. Para λ2 = 5, temos: (A - λ2I)v2 = 0 [6-5 -1; 3 2-5][x; y] = [0; 0] [1 -1; 3 -3][x; y] = [0; 0] x - y = 0 3x - 3y = 0 x = y Assim, o autovetor associado a λ2 é dado por v2 = [1; 1]. 4. Verificar se T é diagonalizável: T é diagonalizável se, e somente se, existir uma base de autovetores de R2. Como encontramos dois autovetores linearmente independentes, v1 e v2, podemos concluir que T é diagonalizável. 5. Se T for diagonalizável, determinar uma matriz diagonal D que representa o operador T: Para encontrar a matriz diagonal D, basta colocar os autovalores λ1 e λ2 na diagonal principal: D = [3 0; 0 5] Portanto, os autovalores de T são λ1 = 3 e λ2 = 5, e os autovetores associados são v1 = [1; 1] e v2 = [1; 1]. O operador T é diagonalizável e pode ser representado pela matriz diagonal D = [3 0; 0 5].