Determine todos os autovalores e autovetores do operador linear T: R3 → R3 dado por T(x,y,z) = (2x+y, y-z, 2y+4z). Determine se o operador T é diag...

Os autovalores de T são λ1 = λ2 = 2 e λ3 = 3. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações lineares (T - λI)v = 0, onde λ é um autovalor e v é um autovetor correspondente. Para λ1 = 2, temos: (T - 2I)v = 0 ⇒ [(2x+y)-2x, (y-z)-2y, (2y+4z)-2z]v = 0 ⇒ [y, -y-z, 2y+2z]v = 0 ⇒ yv1 + (-y-z)v2 + (2y+2z)v3 = 0 Podemos escolher v1 = (1,0,0) como um autovetor correspondente a λ1. Para encontrar um autovetor correspondente a λ2 = 2, podemos escolher v2 = (0,1,2) e verificar se ele satisfaz a equação (T - 2I)v = 0: (T - 2I)v2 = 0 ⇒ [(2x+y)-4, (y-z), (2y+4z)-4]v2 = 0 ⇒ [-2, -z, 2z]v2 = 0 Podemos escolher v2 = (0,1,2) como um autovetor correspondente a λ2. Para λ3 = 3, temos: (T - 3I)v = 0 ⇒ [(2x+y)-3x, (y-z)-3y, (2y+4z)-3z]v = 0 ⇒ [y-x, -y-z-3y, 2y+4z-3z]v = 0 ⇒ (y-x)v1 + (-y-4z)v2 + (y+z)v3 = 0 Não há um autovetor correspondente a λ3 que seja linearmente independente de v1 e v2. Portanto, o autoespaço E(3) é nulo. Como encontramos três autovetores linearmente independentes, T é diagonalizável. A matriz diagonal D que representa T é D = (2 0 0; 0 2 0; 0 0 3). A base de autovetores correspondente é β = {v1, v2}, onde v1 = (1,0,0) e v2 = (0,1,2).