Autovalores, Autovetores e Diagonalização de Operadores

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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Autovalores, Autovetores e Diagonalizac¸a˜o de
Operadores
Prof. Ma´rcio Nascimento
marcio@matematicauva.org
Universidade Estadual Vale do Acarau´
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear - 2015.1
12 de agosto de 2015
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Suma´rio
1 Autovalores e Autovetores
2 Polinoˆmio Caracter´ıstico
3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Suma´rio
1 Autovalores e Autovetores
2 Polinoˆmio Caracter´ıstico
3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Autovetores
Sejam T : E −→ E uma transformac¸a˜o linear de um espac¸o nele
pro´prio. Se v ∈ E e´ tal que T (v) = v , enta˜o v e´ chamado vetor
fixo da transformac¸a˜o T .
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplos
Operador identidade I : R2 −→ R2. Todos os vetores v ∈ R2
sa˜o fixos;
T : R2 −→ R2 definida por T (x , y) = (−x , y) (reflexa˜o em
torno do eixo y). Os vetores sobre o eixo y sa˜o fixos.
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo
Um operador A : R2 −→ R2 definido por A(x , y) = (x + αy , y)
chama-se cisalhamento. Encontremos os vetores fixos de
A(x , y) = (x + 2y , y).
Soluc¸a˜o Seja v ∈ R2. Procuramos soluc¸a˜o para a igualdade A(v) = v ,
isto e´, (x + 2y , y) = (x , y).
Esta igualdade representa um sistema no qual x pode assumir
qualquer valor real e y = 0.
Portanto, qualquer vetor sobre o eixo x e´ invariante por A, ou
seja, A(v) = v quando v = (x , 0).
�
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Definic¸a˜o de Autovetores e Autovalores
Seja T : E −→ E um operador linear. Um vetor v 6= −→0 e´ dito
autovetor de T quando existe λ ∈ C tal que
T (v) = λv
Ja´ o nu´mero λ e´ chamado autovalor associado ao autovetor v (e
o autovetor v e´ associado ao autovalor λ).
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Autovalores e Autovetores
Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo
Determinar os autovalores e os autovetores de
T (x , y) = (3x + 2y ,−y)
Soluc¸a˜o Devemos resolver a equac¸a˜o T (v) = λv , isto e´,
(3x + 2y ,−y) = (λx , λy);
Isto e´, devemos resolver o sistema:
3x + 2y = λx
−y = λy
10 Caso: Se y 6= 0, na segunda equac¸a˜o teremos λ = −1 e, na
primeira, 4x + 2y = 0, ou seja, y = −2x .
Portanto, ao autovalor λ = −1 estara´ associado o autovetor
do tipo (x ,−2x) com x 6= 0.
20 Caso: Se y = 0 enta˜o x 6= 0 (lembre que autovetores sa˜o na˜o
nulos!). Da´ı, λ = 3 e´ autovalor e T (x , 0) = (3x , 0) (com
x 6= 0) e´ o autovetor associados.
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Autoespac¸o: Subespac¸o associado a autovalor
Repare no exemplo acima que se acrescentarmos o vetor nulo ao
conjunto de vetores associados ao autovalor λ de T : E −→ E ,
teremos um subespac¸o vetorial de E .
De fato, sejam v1, v2 tais que T (vi ) = λvi . Enta˜o
T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = λv1 + λv2 = λ(v1 + v2)
Ale´m disso, se k ∈ R e v um autovetor associado a λ, enta˜o
T (k .v) = k .T (v) = k.λv = λ(kv)
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo
Determinar os autovalores e os autovetores (e autoespac¸os) de
T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y)
Soluc¸a˜o
λ1 = 6 v1 =
(
x ,
2
5
x
)
, x 6= 0
λ2 = −1 v2 = (x ,−x) , x 6= 0
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Observac¸a˜o
A matriz [T ] de T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y) e´:
[T ] =
[
4 5
2 1
]
Portanto, procurar os autovalores e autovetores de T equivale
a resolver:
[T (v)] = λ.[v ]⇐⇒ [T ].[v ] = λ[v ]
Ou seja,[
4 5
2 1
]
.
[
x
y
]
= λ.
[
x
y
]
⇐⇒
[
4 5
2 1
]
.
[
x
y
]
= λ.
[
1 0
0 1
] [
x
y
]
⇐⇒ [T ].[v ] = λ.I .[v ]⇐⇒ [T ].[v ]− λ.I .[v ] = [0]
⇐⇒ ([T ]− λ.I )[v ] = [0]
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Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Observac¸a˜o
A matriz [T ] de T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y) e´:
[T ] =
[
4 5
2 1
]
Em termos matriciais, ([T ]− λ.I )[v ] = [0] equivale a:[
(4− λ) 5
2 (1− λ)
]
.
[
x
y
]
=
[
0
0
]
isto e´, um sistema homogeˆneo para o qual queremos soluc¸o˜es
na˜o nulas! Lembre que os autovetores sa˜o na˜o nulos!
Queremos, enta˜o, os valores de λ para os quais ocorre
det([T ]− λ.I ) = 0
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Ainda no exemplo anterior, vemos que
det([T ]− λ.I ) = 0⇐⇒
∣∣∣∣(4− λ) 52 (1− λ)
∣∣∣∣ = 0
Ou seja,
λ2 − 5λ− 6 = 0
cujas ra´ızes sa˜o λ1 = 6 e λ2 = −1.
Fazendo λ = 6 e depois λ = −1 na equac¸a˜o[
(4− λ) 5
2 (1− λ)
]
.
[
x
y
]
=
[
0
0
]
obtemos, os autovetores v1 =
(
x ,
2
5
x
)
com x 6= 0 e
v2 = (x ,−x) com x 6= 0. Isso corresponde aos autoespac¸os
Vλ1 = [(1, 2/5)] e Vλ2 = [(1,−1)].
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Suma´rio
1 Autovalores e Autovetores
2 Polinoˆmio Caracter´ıstico
3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores
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Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Definic¸a˜o - Polinoˆmio Caracter´ıstico
Seja T : E −→ E um operador linear e [T ] a matriz de T
associada a` base canoˆnica de E . Chama-se polinoˆmio
caracter´ıstico de T (ou da matriz [T ]) ao determinante
p(λ) = det([T ]− λI )
A equac¸a˜o
det([T ]− λI ) = 0
e´ chamada equac¸a˜o caracter´ıstica de T e suas ra´ızes sa˜o os
autovalores de T .
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
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Exemplo
Determinar os autovalores e autovetores do operador linear
T : R3 −→ R3 definido por
T (x , y , z) = (3x − y + z ,−x + 5y − z , x − y + 3z)
Soluc¸a˜o Polinoˆmio Caracter´ıstico: p(λ) = λ3 − 11λ2 + 36λ− 36
Autovalores: λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 6
Autoespac¸os:
Vλ1 = [(1, 0,−1)]
Vλ2 = [(1, 1, 1)]
Vλ3 = [(1,−2, 1)]
Os autovetores esta˜o nos subespac¸os acima; basta descartar o
vetor nulo.
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
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Autovetor NULO
Por queˆ o vetor nulo na˜o e´ considerado um autovetor?
No exemplo anterior vimos 3 autovalores distintos e, a cada
um deles, autovetores associados.
Se o vetor nulo pudesse ser autovetor, veja que ter´ıamos um
mesmo vetor (o vetor nulo) associado a` autovalores diferentes!
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Polinoˆmio Caracter´ıstico
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Autovalor NULO
Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R2 definida por
T (x , y) = (8x + 2y , 4x + y) e encontre seus autovalores e
autovetores.
Polinoˆmio Caracter´ıstico:
p(λ) =
∣∣∣∣(8− λ) 24 (1− λ)
∣∣∣∣ = λ2 − 9λ
Autovalores: λ1 = 0 e λ2 = 9.
Autovetores: v1 = (x ,−4x) com x 6= 0 e v2 = (2y , y) com
y 6= 0.
Conclusa˜o: O nu´mero zero pode ser autovalor.
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Suma´rio
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Matriz de um operadorSabemos que, dado um operador linear T : E −→ E , a cada base
B de E esta associada uma matriz [T ]BB que representa T na base
B. O objetivo agora e´ obter uma base de E de modo que [T ]BB seja
a mais simples poss´ıvel.
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Teorema
Seja T : E −→ E um operador linear. Autovetores de T
associados a autovalores distintos, sa˜o LI.
Prova Faremos a prova para o caso de dimensa˜o 2. O caso geral
pode ser generalizado. Sejam v1, v2 autovetores associados
aos autovalores distintos λ1, λ2.
α1v1 + α2v2 =
−→
0 (i)
T (α1v1 + α2v2) =
−→
0
α1T (v1) + α2T (v2) =
−→
0
α1(λ1v1) + α2(λ2v2) =
−→
0 (ii)
Multiplicando (i) por λ1, temos: α1(λ1v1) + α2(λ1v2) =
−→
0
(iii)
Subtraindo (iii) de (ii), temos: α2(λ2 − λ1)v2 = −→0
Como λ2 6= λ1, segue que α2 = 0. De (i), temos α1 = 0.
�
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Corola´rio
Seja T : E −→ E um operador linear. Se dimE = n, enta˜o o
conjunto formado pelos vetores v1, v2, ..., vn associados aos
autovalores λ1, λ2, ..., λn, respectivamente, forma uma base para
E ..
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Exemplo
Considere T : R2 −→ R2 definida por
T (x , y) = (2x − 2y , 2x − 3y). Encotremos a matriz associada a T
relativamente a uma base formada por autovetores.
T (e1) = (2, 2) e T (e2) = (−2,−3). Portanto,
[T ] =
[
2 −2
2 −3
]
Polinoˆmio Caracter´ıstico:
p(λ) = det([T ]− λI ) = λ2 − 4λ+ 4
Ra´ızes: λ1 = −2 e λ2 = 1.
Autoespac¸os: Vλ1 = [(1, 2)] e Vλ2 = [(2, 1)]
Base de autovetores: B′ = {v1, v2} = {(1, 2), (2, 1)}
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Exemplo
Considere T : R2 −→ R2 definida por
T (x , y) = (2x − 2y , 2x − 3y). Encotremos a matriz associada a T
relativamente a uma base formada por autovetores.
Base de autovetores: B′ = {v1, v2} = {(1, 2), (2, 1)}
T (v1) = λ1v1 = λ1v1 + 0.v2
T (v2) = λ2v2 = 0.v1 + λ2.v2
[T (v1)]B′ =
[
λ1
0
]
e [T (v2)]B′ =
[
0
λ2
]
[T ]B′B′ =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[−2 0
0 1
]
Conclusa˜o: ao consideramos uma base formada por
autovetores, a matriz associada a transformac¸a˜o linear
relativamente a esta base e´ uma matriz diagonal na qual a
diagonal principal e´ composta pelos autovalores.
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Exemplo
Considere T : R2 −→ R2 definida por T (x , y) = (x − y , x + 3y).
Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma base
de autovetores.
Inicialmente vamos construir a matriz associada a T
relativamente a` base canoˆnica {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}.
T (e1) = (1, 1) e T (e2) = (−1, 3). Portanto, [T ] =
[
1 −1
1 3
]
Polinoˆmio Caracter´ıstico: p(λ) = det([T ]− λI ) = λ2 − 4λ+ 4
Ra´ızes: λ = 2;
Substituindo na equac¸a˜o T (x , y) = λ(x , y), teremos x = −y ,
isto e´, os autovetores associados ao u´nico autovalor λ = 2 sa˜o
da forma v = (x ,−x), o que corresponde ao autoespac¸o
[(1,−1)]. Como a dimensa˜o deste subespac¸o e´ 1, na˜o e´
poss´ıvel gerar uma base de autovetores para R2.
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Exemplo
Considere T : R3 −→ R3 definida por T (x , y , z) = (3x , 3y , 3z).
Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma base
de autovetores.
Matriz associada a T com relac¸a˜o a` base canoˆnica de R3:
[T ] =
3 0 00 3 0
0 0 3

Polinoˆmio Caracter´ıstico:
p(λ) = det([T ]− λI ) = (3− λ)3 = 27− 27λ+ 9λ2 − λ3
Ra´ızes: λ = 3;
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Exemplo
Considere T : R3 −→ R3 definida por T (x , y , z) = (3x , 3y , 3z).
Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma base
de autovetores.
Ra´ızes: λ = 3;
Substituindo na equac¸a˜o T (x , y , z) = λ(x , y , z), teremos
x = x , y = y e z = z , isto e´, os autovetores associados ao
autovalor λ = 3 sa˜o da forma v = (x , y , z), o que corresponde
ao autoespac¸o [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] que e´ o pro´prio R3.
Exemplo de base de autovetores:
B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
B2 = {(2, 0, 0), (0− 1, 0), (0, 0, pi)}
...
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Exemplo
Considere T : R3 −→ R3 definida por T (x , y , z) = (3x , 3y , 3z).
Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma base
de autovetores.
Matriz associada a T com relac¸a˜o a uma base de autovetores:
[T ]B =
3 0 00 3 0
0 0 3

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Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Definic¸a˜o - Operador Diagonaliza´vel
Seja T : E −→ E um operador linear. Dizemos que T e´ um
operador diagonaliza´vel se existe uma base de E cujos elementos
sa˜o autovetores de T .
Diagonalizac¸a˜o de um Operador
Seja T : E −→ E um operador linear. Diagonalizar o operador T e´
encontrar - quando poss´ıvel - uma matriz associada a` T com
relac¸a˜o a uma base de E formada por autovetores de T ..
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