58. Vunesp Duas raízes x1 e x2 de um polinômio p(x) de grau 3, cujo coeficiente do termo de maior grau é 1, são tais que x1 + x2 = 3 e x1 · x2 = 2....

a) Para encontrar as raízes x1 e x2, podemos utilizar o sistema de equações formado pelas informações dadas: x1 + x2 = 3 x1 · x2 = 2 Podemos reescrever a primeira equação como x2 = 3 - x1 e substituir na segunda equação: x1 · (3 - x1) = 2 3x1 - x1^2 = 2 -x1^2 + 3x1 - 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos as raízes: x1 = 2 ou x1 = 1 Se x1 = 2, então x2 = 1 Se x1 = 1, então x2 = 2 Portanto, as raízes de p(x) são x1 = 2 e x2 = 1, ou x1 = 1 e x2 = 2. b) Sabemos que x3 = 0 é a terceira raiz de p(x), então podemos escrever p(x) como: p(x) = a(x - x1)(x - x2)(x - x3) p(x) = a(x - 2)(x - 1)(x - 0) ou p(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 0) Para encontrar o coeficiente do termo de grau 2, podemos expandir a expressão acima e identificar o termo correspondente: p(x) = a(x^3 - 3x^2 + 2x) ou p(x) = a(x^3 - 3x^2 + 2x) O coeficiente do termo de grau 2 é -3a em ambos os casos.