14. UNICAMP-SP a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros e cujos perímetros medem 11 metros? b) Q...

a) Para calcular o número de triângulos não congruentes cujos perímetros medem 11 metros, podemos usar a fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo em função dos lados. Sabemos que a soma dos lados de um triângulo é igual ao seu perímetro, então podemos escrever: a + b + c = 11 onde a, b e c são os lados do triângulo. Além disso, a área do triângulo é dada por: A = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) onde p é o semiperímetro, dado por: p = (a + b + c)/2 Para que o triângulo exista, devemos ter a < b + c, b < a + c e c < a + b. Além disso, como queremos triângulos não congruentes, devemos ter a ≠ b ≠ c. Podemos então fazer uma análise de casos: - Se a = 1, então b + c = 10. Como b e c são inteiros e devem ser maiores que 1, temos as seguintes possibilidades: (2,8), (3,7), (4,6) e (5,5). Para cada uma dessas possibilidades, podemos calcular a área do triângulo e verificar se ela é positiva. Se for, temos um triângulo válido. Se não for, não temos triângulo válido com a = 1. - Se a = 2, então b + c = 9. Temos as seguintes possibilidades: (3,6), (4,5) e (5,4). Para cada uma dessas possibilidades, podemos calcular a área do triângulo e verificar se ela é positiva. Se for, temos um triângulo válido. Se não for, não temos triângulo válido com a = 2. - Se a = 3, então b + c = 8. Temos as seguintes possibilidades: (4,4). Nesse caso, temos um triângulo equilátero com perímetro 11. - Se a = 4, então b + c = 7. Não temos triângulos válidos com a = 4 ou a > 4, pois nesse caso teríamos b + c < 7. - Portanto, temos um triângulo equilátero e três triângulos não congruentes com perímetro 11. b) Dos triângulos não congruentes com perímetro 11, temos um triângulo equilátero. Não temos triângulos isósceles, pois se tivéssemos, teríamos dois lados iguais e um diferente, o que implicaria em triângulos congruentes.