Um professor colocou no quadro-negro uma equação do 2° grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equaçã...

Vamos chamar de "a" o coeficiente do termo do segundo grau, "b" o coeficiente do termo do primeiro grau e "c" o termo constante da equação do 2° grau. Se o aluno copiou errado o termo constante e achou as raízes -3 e -2, temos: (a) x² + (b) x + (-3) = 0 e (a) x² + (b) x + (-2) = 0 As raízes da primeira equação são -3 e 1, e as raízes da segunda equação são -2 e 1. Como as raízes da equação correta são diferentes das raízes encontradas pelo aluno, podemos concluir que o termo constante correto é diferente de -3 e -2. Se o outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4, temos: (a) x² + (1) x + (c) = 0 e (a) x² + (4) x + (c) = 0 As raízes da primeira equação são (-1 + √(1 - 4ac))/2a e (-1 - √(1 - 4ac))/2a, e as raízes da segunda equação são (-4 + √(16 - 4ac))/2a e (-4 - √(16 - 4ac))/2a. Como as raízes da equação correta são diferentes das raízes encontradas pelo aluno, podemos concluir que o coeficiente do termo do primeiro grau correto é diferente de 1 e 4. Agora, vamos encontrar a equação correta. Sabemos que as raízes são diferentes das encontradas pelos alunos, então as raízes são x = p e x = q, onde p e q são diferentes de -3, -2, 1 e 4. Podemos escrever a equação do 2° grau na forma fatorada: (a) (x - p)(x - q) = 0 Expandindo a equação, temos: (a) x² - (p + q)x + pq = 0 Comparando com a equação geral do 2° grau, temos: a = a b = -(p + q) c = pq Sabemos que p + q é a soma das raízes, então: p + q = -b/a Também sabemos que pq é o produto das raízes, então: pq = c/a Substituindo os valores das raízes encontradas pelos alunos, temos: -3 + (-2) = -b/a b/a = 5 1 x 4 = c/a c/a = 4 Agora, podemos encontrar a equação correta: (a) x² - 5x + 4 = 0 As raízes dessa equação são x = 1 e x = 4. A diferença positiva entre as raízes é: 4 - 1 = 3 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 3.