19. Unifor-CE Um professor colocou no quadro-negro uma equação do 2° grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo const...

Vamos lá! Para resolver essa questão, precisamos utilizar a fórmula de Bhaskara, que é dada por: x = (-b ± √Δ) / 2a Onde: - x são as raízes da equação; - a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau; - Δ é o discriminante, dado por Δ = b² - 4ac. Vamos começar com o primeiro aluno, que copiou errado o termo constante da equação. Seja a equação correta: ax² + bx + c = 0 O aluno copiou errado o termo constante, então a equação que ele encontrou foi: ax² + bx - c' = 0 Sabemos que as raízes encontradas foram -3 e -2. Então, temos: (-b ± √Δ) / 2a = -3 e (-b ± √Δ) / 2a = -2 Isolando o valor de b em ambas as equações, temos: b = 3a - √Δ e b = 2a - √Δ Igualando as duas equações, temos: 3a - √Δ = 2a - √Δ a = √Δ Substituindo o valor de a na equação b = 3a - √Δ, temos: b = 3√Δ - √Δ = 2√Δ Agora, vamos para o segundo aluno, que copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau. Seja a equação correta: ax² + bx + c = 0 O aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau, então a equação que ele encontrou foi: ax² + bx' + c = 0 Sabemos que as raízes encontradas foram 1 e 4. Então, temos: (-b ± √Δ) / 2a = 1 e (-b ± √Δ) / 2a = 4 Isolando o valor de b em ambas as equações, temos: b = -2a + √Δ e b = -8a + √Δ Igualando as duas equações, temos: -2a + √Δ = -8a + √Δ 6a = √Δ Substituindo o valor de a na equação b = -2a + √Δ, temos: b = -2√Δ Agora, vamos encontrar a equação correta. Sabemos que as raízes são α e β, então: (x - α)(x - β) = 0 x² - (α + β)x + αβ = 0 Sabemos que a soma das raízes é dada por: α + β = -b / a Substituindo os valores de b e a para o primeiro aluno, temos: α + β = -2√Δ / √Δ = -2 Para o segundo aluno, temos: α + β = 5a / a = 5 Agora, vamos encontrar a diferença positiva entre as raízes da equação correta: α - β = √(α + β)² - 4αβ / 2 Para o primeiro aluno, temos: α - β = √(-2)² - 4(1)(-c') / 2 = √(4 + 4c') / 2 = √(2 + 2c') Para o segundo aluno, temos: α - β = √5² - 4(1)(c) / 2 = √(25 - 4c) / 2 Agora, precisamos encontrar o valor de c' e c. Sabemos que: c' = αβ e c = αβ' Substituindo os valores de α e β para o primeiro aluno, temos: c' = (-3)(-2) = 6 Substituindo os valores de α e β para o segundo aluno, temos: c = (1)(4) = 4 Agora, podemos calcular a diferença positiva entre as raízes da equação correta para cada aluno: Para o primeiro aluno: α - β = √(2 + 2c') = √(2 + 2(6)) = √14 Para o segundo aluno: α - β = √(25 - 4c) = √(25 - 4(4)) = √9 = 3 Portanto, a diferença positiva entre as raízes da equação correta é 3, letra c.