Mostre que a equação y′ = yx/(x2 − y2) é homogênea e que possui, para cada ponto (x0, y0) do plano com y0 , x0, uma única solução y(x) satisfazendo...

Para mostrar que a equação y′ = yx/(x2 − y2) é homogênea, é necessário verificar se ela satisfaz a propriedade de homogeneidade. Para isso, substitua y(x) por ky(kx) na equação e verifique se a equação é satisfeita para todo k diferente de zero. y′ = yx/(x2 − y2) Substituindo y(x) por ky(kx), temos: y′ = dy(kx)/dx = k(dy/dx)(kx) yx/(x2 − y2) = k(y(kx))/(kx)2 − (y(kx))2 yx/(x2 − y2) = k(y(kx))/(k2x2 − k2(y(kx))2) yx/(x2 − y2) = k(y(kx))/(k2x2 − k2y2(kx)) yx/(x2 − y2) = ky(kx)/(x2 − y2) Portanto, a equação é homogênea. Para mostrar que a equação possui uma única solução y(x) satisfazendo y(x0) = y0, podemos usar o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais. A equação pode ser reescrita como: (x2 - y2)dy/dx = xy Separando as variáveis, temos: (x2 - y2)dy/y = xdx Integrando ambos os lados, temos: -1/2 ln|x2 - y2| = 1/2 ln|x|2 + C Simplificando, temos: ln|x2 - y2| = -ln|x|2 + C ln|x2 - y2| = ln|x-2| + C |x2 - y2| = e^(C) * |x-2| |x2 - y2| = k * |x-2| Onde k = e^(C) é uma constante arbitrária. Agora, podemos resolver para y(x) usando a condição inicial y(x0) = y0. Se x0 = 2, então: |4 - y0^2| = k * |0| Como k é diferente de zero, temos que y0 = 2 ou y0 = -2. Se x0 ≠ 2, então: |x0^2 - y0^2| = k * |x0 - 2| y0^2 = x0^2 - k(x0 - 2) y0^2 + k(x0 - 2) = x0^2 y0^2 + kx0 - 2k = x0^2 k = (y0^2 - x0^2)/(x0 - 2) Substituindo k na equação, temos: |x^2 - y^2| = |y0^2 - x0^2|/|x0 - 2| * |x - 2| Se y0 = 2 ou y0 = -2, então a equação tem uma única solução para y(x) que satisfaz y(x0) = y0. Se y0 ≠ 2 e y0 ≠ -2, então a equação não tem solução para y(x) que satisfaz y(x0) = y0.