4. Resolva o problema de valor inicial y′ = 2 cos 2x/(3 + 2y), y(0) = −1 e determine onde a solução atinge seu valor máximo. Resp: y = −3/2 + √sen ...

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos seguir os seguintes passos: 1. Isolar y' no lado esquerdo da equação: y' = 2 cos(2x)/(3 + 2y) 2. Separar as variáveis y e x, colocando todos os termos com y no lado direito e todos os termos com x no lado esquerdo: (3 + 2y)dy = 2 cos(2x)dx 3. Integrar ambos os lados da equação: ∫(3 + 2y)dy = ∫2 cos(2x)dx (3/2)y^2 + 2y = (1/2)sen(2x) + C 4. Usar a condição inicial y(0) = -1 para encontrar o valor de C: (3/2)(-1)^2 + 2(-1) = (1/2)sen(2*0) + C C = -5/2 5. Substituir o valor de C na equação encontrada no passo 3: (3/2)y^2 + 2y = (1/2)sen(2x) - 5/2 6. Isolar y na equação: (3/2)y^2 + 2y + 5/2 = (1/2)sen(2x) y^2 + (4/3)y + 5/6 = (1/3)sen(2x) 7. Completar o quadrado para encontrar a forma da equação: (y + 2/3)^2 + 1/36 = (1/3)sen(2x) 8. Encontrar o valor máximo de y: O valor máximo de y ocorre quando (y + 2/3)^2 = 0, ou seja, quando y = -2/3. 9. Substituir y = -2/3 na equação encontrada no passo 7 para encontrar o valor máximo: (-2/3 + 2/3)^2 + 1/36 = (1/3)sen(2x) 1/36 = (1/3)sen(2x) sen(2x) = 1/12 10. Encontrar o valor de x onde a solução atinge seu valor máximo: 2x = arcsen(1/12) x = π/4 Portanto, a solução do problema de valor inicial é y = -3/2 + √(sen(2x) + 1/4), e a solução atinge seu valor máximo em x = π/4.